Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса угла:
sin2a = 2 sina cosa
Попробуем теперь получить формулу синуса половинного угла. Для этого используем тригонометрическую единицу:
1 = sin2a + cos2a
И косинус двойного угла:
cos2a = cos2a - sin2a
Вычтем почленно эти выражения:
1 - cos2a = 2 sin2a
Отсюда:
![синус половинного угла](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u2SK9sdngT-rKS1KzV5S1V7slvXXh7FBmFyosolvPlueTZTJoaIdrdSiQjK_3XJ2AYco2BboTJma309_IrUMyqRw=s0-d)
Так как слева угол вдвое меньший, чем справа, то формулу можно переписать и как:
![синус половинного угла](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vRb99L4zA2LgROfJ5CgwsH0AOrwmuHUcIq3JJ55BoaElRItB5-tp4uNiO3JMPHKVlUkeyN1wlf9i5WmOkv7Fhg=s0-d)
Аналогично косинус половинного угла выражается так:
![косинус половинного угла](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_teXNegWpS5tbJfVFSEr6iOL1IhecdrCYhB2a0hLiK1ViygQ116WwF7a7wtsIA-zbB_kNcnJURDuqVyRJ-8Bt9eXQ=s0-d)
А теперь начинается самое интересное. С помощью этих формул покажем, как из бесконечного корня из предыдущего поста вылезает пи.
Выразим синус альфа через угол вдвое больший, и затем будем выполнять эту операцию ещё и ещё:
![доказательство](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uaXki3YZCQ_pLMLR49POzByLvsAfJ4tUqOBRwE7QZN7SZCXDSTPOsADIH9XD0JJp1GYUvsg074PFvrJYS3gW85=s0-d)
А теперь возьмём угол альфа, равным
![доказательство](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vZIRKpLj4nNBbAi7xant-otWaglpKjbswtwt9sFv0-YxpMs5BveUqhptq68lVgiKV7JdXXkUyxw0E8jDNj5QaPLA=s0-d)
Тогда его синус будет равен:
С ростом n этот угол будет стремиться к нулю. А, согласно первому замечательному пределу, синус малых углов равен самому углу в радианах, т.е. для стремящегося к бесконечности n, получим:
Отсюда и выходит предыдущий удивительный результат.
sin2a = 2 sina cosa
Попробуем теперь получить формулу синуса половинного угла. Для этого используем тригонометрическую единицу:
1 = sin2a + cos2a
И косинус двойного угла:
cos2a = cos2a - sin2a
Вычтем почленно эти выражения:
1 - cos2a = 2 sin2a
Отсюда:
Так как слева угол вдвое меньший, чем справа, то формулу можно переписать и как:
Аналогично косинус половинного угла выражается так:
А теперь начинается самое интересное. С помощью этих формул покажем, как из бесконечного корня из предыдущего поста вылезает пи.
Выразим синус альфа через угол вдвое больший, и затем будем выполнять эту операцию ещё и ещё:
А теперь возьмём угол альфа, равным
Тогда его синус будет равен:
С ростом n этот угол будет стремиться к нулю. А, согласно первому замечательному пределу, синус малых углов равен самому углу в радианах, т.е. для стремящегося к бесконечности n, получим:
Отсюда и выходит предыдущий удивительный результат.
Хех... совсем не того уровня удивление. :((
ОтветитьУдалить