Разность и сумма дробей

Разложение числа 2014 на простые множители поможет ответить и на вопрос, сколькими способами аликвотную дробь $\frac{1}{2014}$ можно представить в виде суммы или разности двух аликвотных дробей.

Составим диофантово уравнение:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}$

$\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{2014}$

2014y - 2014x = xy

(2014-x)y = 2014x

$y = \frac{2014 x}{2014-x}$

Так как слева - натуральное число, то и справа число должно быть натуральным. Во-первых, такое возможно, если разность 2014 - х окажется равным одному из делителей числа 2014: 1, 2, 19, 38, 53, 106 или 1007. Это даёт пары решений (х,у):
(2013,4054182);
(2012,2026084);
(1995,211470);
(1976,104728);
(1961,74518);
(1908,36252);
(1007,2014).

Однако, все ли это решения? Нет, ведь, например, при x = 2010 знаменатель дроби $y = \frac{2014 x}{2014-x}$ тоже сократится полностью. Так как же найти, сколькими способами можно представить дробь $\frac{1}{2014}$ в виде разности двух аликвотных дробей, не прибегая к полному перебору?

Для этого введём замену d = 2014 - x. Тогда выражение для y обретёт вид:

$y = \frac{2014 (2014-d)}{d}=\frac{2014^2-2014d}{d}=\frac{2014^2}{d}-2014$

Таким образом, число d должно быть делителем числа $2014^2$ и быть меньше числа 2014. Всего для него 13 вариантов:
1, 2, 4, 19, 38, 53, 76, 106, 212, 361, 722, 1007, 1444

Что даёт следующие равенства:
$\frac{1}{2014}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{4054182}=\frac{1}{2012}-\frac{1}{2026084}= \frac{1}{2010}-\frac{1}{1012035}=\\
=\frac{1}{1995}-\frac{1}{211470}=\frac{1}{1976}-\frac{1}{104728}=\frac{1}{1961}-\frac{1}{74518}=\\
=\frac{1}{1938}-\frac{1}{51357}=\frac{1}{1908}-\frac{1}{36252}=\frac{1}{1802}-\frac{1}{17119}=\\
=\frac{1}{1653}-\frac{1}{9222}=\frac{1}{1292}-\frac{1}{3604}=\frac{1}{1007}-\frac{1}{2014}=\frac{1}{570}-\frac{1}{795}$

А найти, сколькими способами число $\frac{1}{2014}$ представляется в виде суммы аликвотных дробей предлагаем вам самостоятельно. Будет хорошая тренировка перед математическими олимпиадами этого года.

Последовательность составных чисел

Составные числа - те, у которых больше двух делителей. Первое составное число - 4.
4е составное число - 9.
9е составное число - 16
16е составное - 26

Продолжив последовательность по этому принципу, будем получать:
39, 56, 78, 106, 141, 184, 236, 299, 374, 465, 570, 696, 843, 1014, 1212, 1441, 1708,

И, наконец, номер наступающего года: 2014. Это 1708-е составное число.

Разность треугольных чисел

С представлением числа 2014 в виде разности квадратов не получилось. Но может получиться треугольными числами.

Треугольное число описывается формулой $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Из $T_n$ монет можно выложить треугольник со стороной n.

Итак, пусть число 2014 представляется разностью треугольных чисел:
$T_x-T_y=2014$

$\frac{x(x+1)}{2}-\frac{y(y+1)}{2}=2014$

$x^2+x-y^2-y=4028$

$(x-y)(x+y)+(x-y)=4028$

$(x-y)(x+y+1)=4028$

Здесь число 4028 представляется в виде произведения двух натуральных чисел разной чётности. Это возможно сделать следующими способами:

4028 = 1х4028 = 19х212 = 53x76 = 4x1007

Для каждого из способов будет одно решение уравнения. В итоге имеем:
$2014 = T_{2014}-T_{2013} = T_{115}-T_{96}=T_{64}-T_{117}=T_{505}-T_{509}$

Простые числа и разность квадратов

Пора бы уже, по традиции, собирать интересные факты о номере наступающего года: 2014.
Начнём с того, что это число раскладывается на простые множители так:

$2014=2\times 19\times 53$

Обычно сразу после этого факта я пишу, сколькими способами его можно представить в виде разности квадратов, но сейчас хочу пояснить подробнее, какая связь между этими способами и простыми множителями числа.

Итак, пусть для некоторых натуральных х и у:
$x^2-y^2=2014$

Левая часть раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
(x-y)(x+y) = 2014

Заметим, что выражения х-у и х+у, как сумма и разность двух натуральных чисел, имеют одинаковую чётность. Поэтому, чтобы найти все возможные решения, попробуем число 2014 представить в виде произведения двух натуральных чисел одинаковой чётности.

А вот это как раз невозможно. Ведь среди простых делителей числа 2014 только одна двойка, и, как бы мы ни группировали их в два множителя, один будет чётным, другой - нечётным.

День числа пи!

Большинство публикаций в интернете приурочиваются к "американскому" дню числа пи, четырнадцатому марта. Однако сегодняшняя дата, 22/7, даёт более точное приближение числа пи, чем запись 3.14.

Для нас эта дата замечательна ещё тем, что сегодня исполняется пять лет проекту "Приглашение в мир математики". И мы рады сообщить об открытии блога http://evolventa.blogspot.com/, где можно будет обсуждать публикации основного сайта http://intelmath.narod.ru/. Да и сами публикации будут появляться чаще.

С праздником!

Новый конкурс магических квадратов!

Мой хороший друг, Наталия Макарова, регулярно участвовала в конкурсах программистов от Ала Зиммермана и делилась информацией о них для моего блога. А недавно она порадовала новостью: Ал запускает новый конкурс по задаче Наталии о пандиагональных магических квадратах из простых чисел.

Страница конкурса

Участники должны для каждого n от 6 до 20 найти пандиагональный магический квадрат nxn из простых чисел с наименьшей возможной магической константой.

Вот пример пандиагонального квадрата 4х4 с магической константой 240:

7	107	23	103
89	37	73	41
97	17	113	13
47	79	31	83

В нём сумма 240 достигается не только в вертикалях, горизонталях и диагоналях, но также и в ломаных диагоналях.

На данный момент вот какие результаты получили участники:

n	Наименьшая найденная магическая константа
6	450
7	1597
8	1584
9	24237
10	3594
11	18191
12	8820
13	1394767
14	Решение пока не найдено
15	18231
16	48048
17	5675102246930958811
18	54054
19	7769339597062329721
20	65100

У вас есть ещё месяц. чтобы улучшить эти результаты и попасть в список победителей!

Задача на миллион долларов

В 1993 году техасский математик-любитель и миллиардер по совместительству, Эндрю Бил, предложил приз в 100 тысяч долларов за решение одной задачки из теории чисел.

Доказать, что если мы возьмём три натуральных числа А, В, С, возведём их в натуральные степени x, y, z, большие двух, и будет выполняться равенство:

$A^x+B^y=C^z$,

то у чисел А, В, С обязательно найдётся общий простой множитель.

Вот, например:
$27^4+162^3=9^7$

Здесь все числа, возводимые в степень, делятся на 3 (и даже на 9).

Приз можно получить и если найдёте контрпример: подобное равенство, в котором основания степеней не имели бы общего множителя, большего единицы.

За 20 лет исследований разобрано достаточно много частный случаев, однако обощения пока не найдено, поэтому приз вырос до одного миллион долларов.

Дерзайте!