Последние цифры степеней

Рассмотрим  последовательность степеней двойки:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...

И выпишем только последние цифры:
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4,...

Будет ли эта закономерность сохраняться до бесконечности?

Обман зрения в геометрии

Часто при доказательстве теоремы Пифагора используется метод разрезания и перекладывания частей. Однако не следует забывать, что используя такой путь следует строго доказывать, что мы получили именно ту фигуру, которую хотели. Иначе могут возникать ситуации, подобные следующей:

Возьмём квадрат 8 на 8 и разрежем его на 4 части:

Теперь переложим части вот так:

Получается, что из одних и тех же частей состоят и квадрат площадью 64 и прямоугольник площадью 65.



Но это не всё - переложив части вот так:

Насколько точен ваш компьютер?

Мы привыкли доверять в расчётах компьютеру. Но иногда - чересчур полагаемся на него. А сейчас я покажу один поучительный пример, позволяющий оценить точность вычислений.

Откроем новый документ Excel. В ячейку А1 введём число 0

Десятью словами

Как-то я предлагал задачку описать натуральные числа фразами, состоящими из меньше числа букв, чем соответствующее числительное.

Например, вместо "двадцать семь" можно сказать "три в кубе", вместо "пятьдесят" - "полсотни".

Рассмотрим другой вариант этой задачи. Будем стараться сократить не количество букв, а количество слов во фразе, описывающей данное число. К пример, вместо "тысяча триста тридцать один" скажем "куб одиннадцати".

Как вы думаете, любое ли натуральное число можно будет описать фразой из менее десяти слов?

Неинтересные числа

В блоге я часто пишу об интересных свойствах чисел. Вот, например, какие особенности имеются у 50, 196, 1444, 40585 или 13223140496.

Возникает вопрос - а у каждого ли числа имеется какое-нибудь интересное свойство? Разумеется, кроме тривиального "Число n - единственное натуральное число, лежащее между n-1 и n+1".

Утвердительно ответил на этот вопрос ещё Мартин Гарднер вот каким остроумным построением.

Рассмотрим единицу. Она, безусловно, интересна, например, тем, что является нейстральным элементом умножения или тем, что не принадлежит ни к простым, ни к составным числам.

Допустим, что некоторые числа, большие единицы, неинтересны. Но в таком случае среди множества неинтересных чисел можно найти наименьшее. Наименьшее натуральное число, не имеющее интересных особенностей - разве это не интересно?!

Таким образом, это число попадёт в категорию интересных. Возникает противоречие: только что мы относили число к неинтересным - и сразу же утверждаем, что оно интересно. Избавиться от этого противоречия можно только допустив, что неинтеренсых чисел не существует.

Все числа интересны!

Рукописный ввод формул

Вот на этой странице напишите что-нибудь мышкой и сразу же сможете получить код LaTeX для вставки в MathUrl  или вычислить значение выражения в ВольфраАльфе

Трёхзначное число

Некоторое трёхначное число записали в обратном порядке, а затем вычли из большего меньшее. В результате оказалось, что разность состоит из тех же цифр, что и исходное число.

В десятичной системе счисления ответ на задачу единственен. А в какой системе счисления есть два трёхзначных числа, удовлетворяющих условию задачи?