суббота, 8 ноября 2014 г.

Объяснение математических часов: 2 - формула Эйлера

Вместо числа 2 на моих математических часах формула:
$2 = 1-e^{\pi i}$

2. Формула Эйлера
Считающаяся одной из самых красивых формул в математике, формула Эйлера объединяет числа пи, е, единицу, мнимую единицу и ноль и имеет вид:
$e^{\pi i}+1 = 0$

Почему число е, возведённое в мнимую степень, даёт действительное число?

Для начала уточним, что выражение $e^{\pi i}+1 = 0$ на самом деле называется тождеством Эйлера и является частным случаем более общей формулы Эйлера, которая выглядит так:
$e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Доказывается она через разложение показательных и тригонометрических функций в ряды. Тема степенных рядов заслуживает отдельного поста здесь или даже на Эвольвенте, но пока можно просто сказать, что верны равенства:
$e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$,
$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$,
$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$,
где справа - бесконечные суммы.

Разложив $e^{i x}$ в ряд и использовав свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$), мы и получим искомое выражение: $e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Подставив $x = \pi$, имеем: $e^{\pi i} = -1$




Комментариев нет:

Отправить комментарий

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл палиндром уравнение видео комплексные магический квадрат правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр