Хотя в блоге можно найти и удивительные свойста числа 2013, и математические фокусы, и магические квадраты, больше всего посетителей привлекает сюда статья о правиле выноса из-под корня.
В комментариях к ней читатели задают вопросы и по другим разделам математики. Вот, например, обсуждение формулы понижения степени достойно отдельного поста.
Итак, имеем форулу косинуса двойного угла,
cos2a = cos2a - sin2a
Прибавим к обеим частям единицу
cos2a +1 = cos2a - sin2a + cos2a + sin2a
cos2a +1 = 2cos2a
Поэтому:
Так что вместо второй степени косинуса можно использовать косинус первой степени, но удвоенного угла. Аналогично квадрат синуса можно также заменять первой степенью косинуса (просто вместо прибавления единицы на первом шаге преобразования, её надо отнять):
Возникает справедливый вопрос: а можно ли понизить третью степень косинуса или синуса? Рассуждая по аналогии, попробуем вывести нужную формулу из формул тройного угла.
cos3a = cos(2a + a) = cos2a cosa - sin2a sina = (cos2a - sin2a) cosa - 2sina cosa sina = cos3a - 3sin2a cosa = cos3a - 3(1- cos2a) cosa = 4cos3a - 3cosa
Значит, куб косинуса можно представить как:
В комментариях к ней читатели задают вопросы и по другим разделам математики. Вот, например, обсуждение формулы понижения степени достойно отдельного поста.
Итак, имеем форулу косинуса двойного угла,
cos2a = cos2a - sin2a
Прибавим к обеим частям единицу
cos2a +1 = cos2a - sin2a + cos2a + sin2a
cos2a +1 = 2cos2a
Поэтому:
Так что вместо второй степени косинуса можно использовать косинус первой степени, но удвоенного угла. Аналогично квадрат синуса можно также заменять первой степенью косинуса (просто вместо прибавления единицы на первом шаге преобразования, её надо отнять):
Возникает справедливый вопрос: а можно ли понизить третью степень косинуса или синуса? Рассуждая по аналогии, попробуем вывести нужную формулу из формул тройного угла.
cos3a = cos(2a + a) = cos2a cosa - sin2a sina = (cos2a - sin2a) cosa - 2sina cosa sina = cos3a - 3sin2a cosa = cos3a - 3(1- cos2a) cosa = 4cos3a - 3cosa
Значит, куб косинуса можно представить как:
Аналогично для куба синуса:
Для решения тригонометрических уравнений то, что после понижения степени мы получили функции от разных переменных, несколько неудобно. Но вот при интегрировании тригонометрических функций этот факт нискольrо не мешает.
Например:
Кстати, при взятиях интегралов и не только возникает нужда преобразовывать произведение тригонометрических функций в сумму. Об этом и других тригонометрических формулах есть статья-справочник в разделе "Математика в школе" блога "Эвольвента"
А если знать формулу синуса через мнимую экспоненту, то подобным образом можно расписывать и не только целые степени.
ОтветитьУдалитьКстати, хорошая тема для новой публикации. Скоро добавлюю её в Основного блога
УдалитьHello there, I do believe уour webѕite сould рossіbly be haνіng browser compatibіlity problems.
ОтветитьУдалитьWhenevеr I takе a look at уour website іn Safaгi,
іt looks fine however, if οpening in Ӏnternet Explorer, it's got some overlapping issues. I just wanted to give you a quick heads up! Besides that, wonderful site!
my site short term loans