Смена системы счисления: прогресс

В задаче о поиска чисел, которые в q-ичной системе счисления записывалось бы как p, а в p-ичной - как q продвигается с помощью наших читателей.

Вадим заметил, что любое число, записываемое как n в десятичной системе счисления выглядит как 10 в системе по основанию n. 

А Николай нашёл принципиально отличный пример: запись "65" в 87-ричной системе счисления означает 6 * 87 + 5 = 527. То же самое означает и запись "87" в 65-ричной системе: 8 * 65 + 7 = 527.


Задачу поиска не более чем двузначных p и q можно записать так: Пусть p состоит из цифр a и b, а q - из цифр c и d.
Тогда запись (ab)_cd означает число a*cd+b=10ac+ad+b.
А запись (cd)_ab означает число c*ab+d=10ac+bc+d. (Запись ab означает не произведение, а число с цифрами a и b).


Тогда получаем уравнение
ad + b = bc + d
Откуда
(a - 1)d = (c - 1)b


Получаем ещё одну группу решений: если оба числа начинаются на 1. К примеру, запись "15" в 19-ричной системе означает число 15+9=24. То же самое будет означать и запись "19" в 15-ричной системе.


Если же d=c-1, а b=a-1 (как в числах 87 и 65) - тоже равенство выполнится.