Матрицы с нулевым определителем

Ещё одна задачка про матрицы. Рассмотрим матрицы 3х3, элементами которых могут быть только нули, единицы и двойки. Всего таким матриц будет не особо много: $3^9 = 19 683$

Вопрос: у скольких из них определитель будет равен нулю?

Напомним: определитель матрицы

$\begin{pmatrix} a_{11} & a{12} & a{13} \\ a_{21} & a{22} & a{23} \\ a_{31} & a{32} & a{33} \end{pmatrix}$

равен разности двух сумм:

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}$ минус  $a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{23}a_{32}a_{11}$

Квадрат из натуральных чисел

Давайте начнём новый, 2022й год с интересной задачи.

Рассмотрим квадратную таблицу. Попробуем её заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел во всех строках и всех столбцах были одинаковыми.

Это немного напоминает магические квадраты, но с облегчёнными условиями: числа внутри могут повторяться, а равенство сумм требуется только по строкам и столбцам, не по диагоналям.

Разумеется, можно построить сколько угодно таких квадратных таблиц, проще всего взять и заполнить её одиними единицами.

Но давайте теперь подсчитаем, сколько существует квадратов, сумма всех элементов которых равна наперёд заданному числу N.

Например, для N = 12 таких квадратов тоже 12. Смотрите:

один квадрат из одной ячейки, в которой запишем число 12.

  [12]

пять квадратов из четырёх ячеек, вот такие:

  [1 5] [5 1] [2 4] [4 2] [3 3]

  [5 1] [1 5] [4 2] [2 4] [3 3]

и шесть квадратов из девяти ячеек:

  [1 1 2] [1 1 2] [1 2 1] [1 2 1] [2 1 1] [2 1 1]

  [1 2 1] [2 1 1] [1 1 2] [2 1 1] [1 1 2] [1 2 1]

  [2 1 1] [1 2 1] [2 1 1] [1 1 2] [1 2 1] [1 1 2]

Понятно, квадратов большего размера, заполненных натуральными числами, сумма которых равна 12, не существует. Таки образом, существует 12 квадратов, сумма элеметов которыхравна 12, и суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце равны.

А теперь предлагаем вам, уважаемые читатели, выяснить, сколько существует квадратов с указанным свойством, сумма всех чисел в ячейках которых равна 28? Вы, вероятно, догадываетесь, какой будет ответ ;) - тем интереснее будет перечислить их все.

Восхитительное число

Многим любителям занимательной математики знакомы совершенные числа. Это такие числа, которые равны сумме всех своих собственных делителей (т.е. делителей, меньших самого числа). Пример совершенного числа - число 28. Оно делится на 1, 2, 4, 7 и 14, а сумма 1+2+4+7+14 = 28

Совершенных чисел очень мало. Намного чаще втречаются восхитительные числа. Это такие числа, которые сумме всех своих делителей, если один из делителей взять со знаком минус.

Как раз примером восхитительного числа является номер будущего года, число 2022.

Делителями числа 2022, меньшими его самого, являются числа: 1, 2, 3, 6, 337, 674, 1011. А значение выражения 1+2+3-6+337+674+1011 = 2022

Уважаемые читатели! Поздравляем вас с Новым, 2022-м годом! Учитывая перечисленные в нашем блоге интересные свойства числа 2022, желаем радости, счастья и восхитительных событий!

Медиана больше среднего

Важными статистическими свойствами выборки (набора чисел) являются среднее значение и медиана. Они не тождественны. 

Среднее значение - это обычное среднее арифметическое, сумма всех чисел в наборе, разделённая на их количество. 

Медиана же определяется как число, которое не меньше, чем половина чисел из набора и не больше, чем другая половина чисел из набора. Найти медиану просто, если выписать все числа набора по возрастанию. Тогда медианой будет или среднее число (если чисел нечётное количество) или среднее арифметическое двух центральных чисел (при чётном общем количестве чисел).

Например, в выборке 1,2,3,5,20 среднее значение равно (1+2+3+5+20)/5 = 5.2, а медиана равна 3.

Теперь рассмотрим, к чему было такое вступление :)

Возьмём число, например 7, и рассмотрим, сколькими способами его можно представить в виде суммы натуральных чисел.

Для семёрки таких способов будет 15, вот они:

7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 1+1+5 = 1+2+4 = 1+3+3 = 2+2+3 = 1+1+1+4 = 1+1+2+3 = 1+2+2+2 = 1+1+1+1+3 = 1+1+1+2+2 = 1+1+1+1+1+2 = 1+1+1+1+1+1+1

Подсчитаем для каждого набора чисел в разбиениях среднее и медиану

(7): среднее 7, медиана 7

(1, 6): среднее 3.5 медиана 3.5

(2, 5): среднее 3.5 медиана 3.5

(3, 4): среднее 3.5 медиана 3.5

(1, 1, 5): среднее 7/3 медиана 1

(1, 2, 4): среднее 7/3, медиана 2

(1, 3, 3): среднее 7/3, медиана 3

(2, 2, 3): среднее 7/3, медиана 2

(1, 1, 1, 4): среднее 1.75, медиана 1

(1, 1, 2, 3): среднее 1.75, медиана 1.5

(1, 2, 2, 2): среднее 1.75, медиана 2

(1, 1, 1, 1, 3): среднее 1.4, медиана 1

(1, 1, 1, 2, 2): среднее 1.4, медиана 1

(1, 1, 1, 1, 1, 2): среднее 7/6, медиана 1

(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1): среднее 1, медиана 1

Итак, мы видим, что среди 15 разбиений числа 7 на натуральные слагаемые, всего у двух наборов слагаемых медиана оказалась больше среднего значения. Это наборы (1, 3, 3) и (1, 2, 2, 2).

А теперь предлагаю любителям математики самостоятельно подсчитать, для скольких разбиений числа 37 на слагаемые выполняется то же свойство: медиана набора слагаемых будет больше их среднего арифметического.

Квадрат наоборот

Вчера мы говорили о том, что квадрат числа 2022 равен 4 088 484

Если написать это число хадом наперёд, т.е. 4 848 804, то тоже выйдет квадрат! Квадрат числа 2202

Делимость степеней

Как мы выяснили вчера, число 2022 делится на сумму своих цифр.

Оказывается, такое же свойство имеют и степени числа 2022 по 7-ю включительно. То есть:

2022² = 4 088 484. Это число делится на 36 = 4+0+8+8+4+8+4

2022³ = 8 266 914 648. Это число делится на 54 = 8+2+6+6+9+1+4+6+4+8

2022⁴ = 16 715 701 418 256. Это число делится на 54 = 1+6+7+1+5+7+0+1+4+1+8+2+5+6

2022⁵ = 33 799 148 267 713 632. Это число делится на 81= 3+3+7+9+9+1+4+8+2+6+7+7+1+3+6+3+2

2022⁶ = 68 341 877 797 316 963 904. Это число делится на 108 = 6+8+3+4+1+8+7+7+7+9+7+3+1+6+9+6+3+9+0+4

2022⁷ = 138 187 276 906 174 901 013 888. Это число делится на 108 = 1+3+8+1+8+7+2+7+6+9+0+6+1+7+4+9+0+1+0+1+3+8+8+8

Делимость на сумму цифр

Число 2022 открывает серию из четырёх чисел, каждое из которых делится на сумму своих цифр.

2022 делится на 2+0+2+2 = 6, в частном получается 337

2023 делится на 2+0+2+3 = 7, в частном получается 289

2024 делится на 2+0+2+4 = 8, в частном получается 253

2025 делится на 2+0+2+5 = 9, в частном получается 225

Числа с таким свойством называются числами Нивена или числами харшад. Второе название происходит от санскритского "харша", «великая радость» и названы так исследовавших им Капрекаром.