Три хорды

Если три окружности попарно пересекаются, три их общие хорды пересекутся в одной точке.

Чтение мыслей

На развлекательных сайтах время от времени публикуется и озадачивает посетителей следующий  математический фокус.

Вас просят загадать двузначное число. Затем нужно переставить в нём цифры. И, наконец, от большего из чисел отнять меньшее.

Далее показывается таблица, в которой нужно найти полученную разность и сосредоточить внимание на цвете той ячейки.

А теперь выделите текст на странице, нажав Ctrl+A.
Она белая, верно?
Объяснение - под катом.

Приписывание числа

Этот математический фокус описывал ещё Я.И.Перельман. Его очень хорошо показывать в классе. Попросите одного человек загадать трёхзначное число и записать его на бумажке.

Пусть он передаст бумажку второму, который справа припишет точно такое же число (получив, в итоге, шестизначное).

Третий, получив бумагу, должен разделить шестизначное число на 7 и передать четвёртому.

Четвёртый должен разделить результат на 11 и передать пятому.

Пятый делит результат четвёртого на 13 и передаёт бумагу первому. Тот обнаруживает там загаданное число. Сам лист бумаги после каждого действия можно подворачивать, так, чтобы участники видели только результат предыдущего человека.

Секрет фокуса в том, что приписывание к трёхзначному числу его копии - это умножение на 1001.

Можно провести аналогичный фокус, попросив записать двузначное число и приписать его копию дважды. На какие числа тогда надо будет делить, чтобы получить исходное?

Тетрация

Наверное, многие, как и я, задумывались на следующим вопросом.

Если число a прибавить само к себе b раз, то это действие можно заменить умножением a на b.

Если число a умножать само на себя b раз, то это будет возведение a в степень b:

А что дальше? Есть ли замена для башни степеней? Т.е выражения вида:

Так вот, оказывается, когда для нужд математических доказательств понадобились столь большие числа, был введён оператор тетрации. Сделал это Дональд Кнут в 1976 году. Он предложил степенную башню, состоящую из b чисел, каждое из которых равно a, записывать как

Например,

Две стрелки были выбраны потому, что в языке Алгол возведение в степень обозначалось одинарной стрелкой. И сейчас во многих математических программах для этого действия  используется птичка, представляющая собой острие стрелки: 3^2 = 9.

Аналогично тетрации Кнут ввёл и пентацию, и другие кратные стрелки, приводящие к ещё более быстрому росту. Причём в них, как и при вычислении башен степеней, действия производятся справа налево:

Интегрирование обратной величины

Красивое доказательство того, что производная логарифма - это величина, обратная аргументу, показал Денис Сепетов:

Попробуем взять интеграл

, 

При этом мы "не знаем", что это натуральный логарифм. Будем действовать иначе.

Сделаем замену переменной: x = e^t, dx = e^tdt

Получится простой интеграл:

Теперь вернувшись к подстановке получаем, что t = lnx.

Кстати, а если брать тот же самый интеграл другим методом, можно получить интересный софизм.

Производная логарифма

Комментируя пост о дискриминанте, наш читатель Денис Сепетов привёл пример ещё одной формулы-заклинания.

Объяснить, почему производная натурального логарифма равна именно единице на икс, студенты и старшеклассники часто не могут.

В тоже время, здесь тоже всё очень просто и логично. Для начала вспомним, что такое производная. Классическое определение гласит:

Производная функции - это предел отношения приращения зависимой переменной к приращению независимой переменной, когда последнее стремится к нулю.

То есть, у нас есть две переменные: независимая, х, которая может принимать любые значения, и зависимая - y, которая для каждого значения x определяется по формуле y = ln x.

Если х приращивается на некоторую величину  , то прирост зависимой можно вычислить по формуле:

Предел отношения этих приращений будет равен:

Теперь, чтобы объяснить большую магию, задействуем магию поменьше :) - второй замечательный предел.

По одному из следствий из него, бесконечно малые величины x и ln(1 + x) - эквивалентны. Так что далее предел преобразуется следующим образом:

Что и требовалось доказать.

Дискриминант

Метод решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта знают почти все. Но, как мне пришлось убедиться, для многих эта формула: D = b² - 4ac кажется своего рода заклинанием. И почему для получения корней сначала нужно произвести именно такую операцию с коэффициентами - загадка.

Чтобы понять, откуда взялась формула дискриминанта и почему она работает, попробуем решить квадратное уравнение без неё.

Итак, имеем уравнение ax² + bx + c = 0, где первый коэффициент не равен нулю.

Для начала разделим обе части на a:

Было б здорово, если бы левую часть удалось свернуть по формуле квадрата суммы. Квадрат первого, x² , уже есть. Тогда удвоенным произведением первого на второе должно стать:

Квадрат второго будет равняться


Прибавим его и отнимем от левой части уравнения:

Соберём три слагаемых левой части в квадрат суммы, а оставшиеся два - перенесём вправо:

Приведём правую часть к общему знаменателю:

Вот он! Выражение b² - 4ac, стоящее в числителе правой части - и есть наш дискриминант. Почему же его знак определяет количество корней? Рассмотрим полученное уравнение внимательнее. Слева стоит квадрат. В знаменателе правой части - тоже квадрат. И только дискриминант может иметь любой знак. Поэтому, если он окажется отрицательным, полученное уравнение корней иметь не будет. Если нулевым - корень будет единственным (кстати, формула нахождения вершины параболы также происходит отсюда). И только для положительного дискриминанта будет 2 различных корня.

Ну а дальше - легко :)