Эвклидово доказательство бесконечности количества простых чисел

Допустим, простых чисел конечное количество. Но тогда, если их все перемножить, и прибавить единицу, получим число, которое не делится ни на одно из простых.

Вот на этом шаге часто, воспроизводя доказательство Эвклида, делают ошибку и говорят, что полученное число само является простым. Однако это не так: оно может быть или простым, или делящимся на некоторое простое число, большее максимального простого, входящего в произведение.

Действительно, числа
2+1=3
2*3+1=7
2*3*5+1=31
2*3*5*7+1=211
2*3*5*7*11+1=2311
- все простые, однако следующее:
2*3*5*7*11*13+1=30031 - составное, оно делится на 59.

Об этом математическом заблуждении, прочитав заметку о сумме иррациональных чисел, напомнил мне mmmkot.

Доказательство Эвклида очень хорошо иллюстрирует также принцип доказательства от противного: сначала мы предполагаем, что нечто верно, а затем показываем, к какому противоречию. приводит данное допущение.

Комплексное число в комплексной степени

А можно ли, возведя комплексное число в комплексную степень, получить действительное число?

Вот подсчитаем, чему равно iⁱ

Для этого рассмотрим формулу Эйлера
 

Перенесём единицу вправо:



Теперь возведём левую и правую часть в степень i. Т.к. i²=-1, то


И теперь извлечём корень из левой и правой части:


Таким образом,


Итак, мнимое число во мнимой степени может давать действительный результат!

Иррациональная степень иррационального числа

А можно ли получить рациональное число, возведя иррациональное число в иррациональную степень?

Оказывается, тоже можно. Рассмотрим число

Если оно рационально, то задача решена. Если же нет (а на самом деле оно иррационально, но доказательство этого занимает солидный научный труд), то рассмотрим число

Которое является целым.

Сумма двух иррациональных чисел

При решении задач на доказательство рациональности/иррациональности некоторого выражения школьники часто высказывают заблуждение: "если числа a и b - иррациональны, то a+b - также иррационально".

То, что на самом деле сумма двух иррациональных чисел вполне может быть числом рациональным, и даже целым, можно показать, взяв

Тогда a+b=0

Как ещё запомнить пи

Существует числовой стишок:
Надо только постараться и запомнить всё как есть — три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть.
Его указала в своём комментарии elka.

Есть ещё одна фраза, в которой количества букв в словах соответствуют цифрам:
Это я знаю и помню прекрасно: пи многие знаки мне лишни, напрасны

Делимость на 7

Есть 164 шестизначных чисел, которые делятся на 7 при любом порядке своих цифр. Одно из них число 188111

Подробнее об этом - в решении задачи 3 Математических Маневров

Цепочка корней

Число фи можно получить и из выражения