Кто построит магический куб из простых чисел?

Наталия Макарова, ведущий исследователь магических квадратов в рунете, расширила сферу своих научных интересов на магические кубы и тессеракты (4-мерные кубы). На Научном форуме с 9 апреля по 9 июня она проводит конкурс по программированию. Приглашаются все желающие попробовать свои силы и получить результат, ранее неизвестный науке!

Участникам предлагается:
1. Построить из различных простых чисел магический куб порядка 4, 5, 6 или 7
2.  Построить из различных простых чисел ассоциативный магический куб порядка 4, 5, 6 или 7

По существу это 8 отдельных задач. Решения каждой из них будут оцениваться, исходя из магической константы получившихся кубов. Чем меньше константа - тем лучше. Учреждён приз участнику, который займёт первое место, 100 долларов США.

Полные правила конкурса - в теме http://dxdy.ru/topic83021.html на Научном форуме. Решения отправляйте Наталии на почту natalimak1@yandex.ru или в личное сообщение на форуме dxdy.

Внимание! Коллега Наталии, итальянский программист Stephano Tognon,. разработал сайт для конкурса. Здесь можно регистрироваться и через него отправлять свои решения: http://primesmagicgames.altervista.org/wp/

Магический куб является 3-мерным эквивалентом магического квадрата. Это набор целых чисел, размещённых в кубе n x n x n таким образом, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, в каждой колонне и в четырех пространственных диагоналях куба равна одному и тому же числу, называемому магической константой куба S.

Вот классический магический куб порядка n = 3 (здесь используются все натуральные числа от 1 до 27)

Слой 1:

18	23	1
22	3	17
2	16	24

Слой 2:

20	7	15
9	14	19
13	21	8

Слой 3:

4	12	26
11	25	6
27	5	10

Константа его S = 42

А вот ещё один (из Википедии), с такой же константой:

Магический куб называется ассоциативным (центрально-симметричным), если сумма любых двух элементов, симметрично расположенных относительно центра куба, равна одному и тому же числу, называемому константой ассоциативности куба. 

Минимальная суперперестановка

В строке 123412314231243121342132413214321 встречаются все возможные 24 перестановки строки "1234". Эта строка имеет минимально возможную длину.

Аналогичной минимальной строки для всех перестановок пяти цифр "12345" ещё не найдено.

Такие строки называются суперперестановками.

Мат в 549 ходов

Сразу скажу - сначала я посмотрел на дату поста. Но новость об этом появилась ещё 28 марта, так что, скорее всего, это не розыгрыш.

В Москве, в Университете им.Ломоносова составляется полный каталог всех семифигурных окончаний шахматной партии. И в ходе перебора наткнулись вот на такую позицию:



Белые в ней могут привести партию к победе, но чёрные способны оттягивать своё поражение в течение 549 ходов! Интересно, что выигрышная стратегия белых включает превращение пешки в коня, а не в ферзя.

Спасибо большое Илье Весеннему за развитие темы и за ссылку на полное решение.

Сдвоенные близнецы

Про простые близнецы знают, пожалуй, многие. Существует также единственная тройка простых чисел вида p, p+2, p+4 - это тройка 3, 5, 7. Действительно, ведь одно из трёх последовательных нечётных чисел будет делиться на 3, и во всех других случаях эти три числа не будут простыми.

Однако бывает так, что пары простых близнецов следуют рядом, с промежутком в одно нечётное число. Например, (11, 13), (17, 19). Или (1002341, 1002343), (1002347, 1002349). Таких сдвоенных близнецов (или квадруплетов), возможно, тоже бесконечно много.

Проблема простых-близнецов: прогресс

Существует гипотеза о простых числах-близнецах. Она гласит, что, возможно, существует бесконечное множество пар простых чисел, одно из которых на два больше другого.

На данный момент самые большие известные простые близнецы состоят из 58711 цифр и равны $2003663613\cdot2^{195000}\pm 1$.

Впрочем, если бы удалось доказать, что множество простых-близнецов конечно, это тоже стало бы прорывом в теории чисел. Однако последние исследования указывают на то, что у гипотезы бесконечности есть неплохие шансы быть истинной.

В мае 2013 года Yitang Zhang представил доказательство того, что существует бесконечное множество пар простых чисел, отличающихся не более, чем на 70 000 000, а недавно этот результат был существенно улучшен. Сейчас существует доказательство бесконечности количества пар простых чисел, отличающихся не более, чем на 270.

2014 из собственных цифр

Семёныч пополнил Кладовую числовых диковинок удивительными равенствами, в готорых номер наступающего года получается из цифр 2, 0, 1 и 4 в этом порядке:

2014=20×14×(2+0+1+4)+(20+14)×2-(0+14)
2014=(201+4)×2-0-1×4+201×4+201×4
2014=201×4-201×4/2×0!×1+4+201×4+201×4

Разность простого и составного

Семёныч, ведущий раздела "Кладовая числовых диковинок" на Назве, нашёл поистине замечательное свойство  числа 2014. Оказывается, оно является ращностью между 365-м простым числом ии 365-м составным числом.

2014 = 2467 - 453