воскресенье, 13 мая 2012 г.

Чтение мыслей

На развлекательных сайтах время от времени публикуется и озадачивает посетителей следующий  математический фокус.

Вас просят загадать двузначное число. Затем нужно переставить в нём цифры. И, наконец, от большего из чисел отнять меньшее.

Далее показывается таблица, в которой нужно найти полученную разность и сосредоточить внимание на цвете той ячейки.



А теперь выделите текст на странице, нажав Ctrl+A.
Она белая, верно?
Объяснение - под катом.

суббота, 12 мая 2012 г.

Приписывание числа

Этот математический фокус описывал ещё Я.И.Перельман. Его очень хорошо показывать в классе. Попросите одного человек загадать трёхзначное число и записать его на бумажке.

Пусть он передаст бумажку второму, который справа припишет точно такое же число (получив, в итоге, шестизначное).

Третий, получив бумагу, должен разделить шестизначное число на 7 и передать четвёртому.

Четвёртый должен разделить результат на 11 и передать пятому.

Пятый делит результат четвёртого на 13 и передаёт бумагу первому. Тот обнаруживает там загаданное число. Сам лист бумаги после каждого действия можно подворачивать, так, чтобы участники видели только результат предыдущего человека.

Секрет фокуса в том, что приписывание к трёхзначному числу его копии - это умножение на 1001.

Можно провести аналогичный фокус, попросив записать двузначное число и приписать его копию дважды. На какие числа тогда надо будет делить, чтобы получить исходное?

пятница, 11 мая 2012 г.

Тетрация

Наверное, многие, как и я, задумывались на следующим вопросом.

Если число a прибавить само к себе b раз, то это действие можно заменить умножением a на b.
Сложение и умножение

Если число a умножать само на себя b раз, то это будет возведение a в степень b:

А что дальше? Есть ли замена для башни степеней? Т.е выражения вида:

Так вот, оказывается, когда для нужд математических доказательств понадобились столь большие числа, был введён оператор тетрации. Сделал это Дональд Кнут в 1976 году. Он предложил степенную башню, состоящую из b чисел, каждое из которых равно a, записывать как
Например,

Две стрелки были выбраны потому, что в языке Алгол возведение в степень обозначалось одинарной стрелкой. И сейчас во многих математических программах для этого действия  используется птичка, представляющая собой острие стрелки: 3^2 = 9.

Аналогично тетрации Кнут ввёл и пентацию, и другие кратные стрелки, приводящие к ещё более быстрому росту. Причём в них, как и при вычислении башен степеней, действия производятся справа налево:

вторник, 8 мая 2012 г.

Интегрирование обратной величины


Красивое доказательство того, что производная логарифма - это величина, обратная аргументу, показал Денис Сепетов:

Попробуем взять интеграл
При этом мы "не знаем", что это натуральный логарифм. Будем действовать иначе.

Сделаем замену переменной: x = et, dx = etdt

Получится простой интеграл:

Теперь вернувшись к подстановке получаем, что t = lnx.

Кстати, а если брать тот же самый интеграл другим методом, можно получить интересный софизм.


пятница, 4 мая 2012 г.

Производная логарифма

Комментируя пост о дискриминанте, наш читатель Денис Сепетов привёл пример ещё одной формулы-заклинания.

Объяснить, почему производная натурального логарифма равна именно единице на икс, студенты и старшеклассники часто не могут.

В тоже время, здесь тоже всё очень просто и логично. Для начала вспомним, что такое производная. Классическое определение гласит:
Производная функции - это предел отношения приращения зависимой переменной к приращению независимой переменной, когда последнее стремится к нулю.
То есть, у нас есть две переменные: независимая, х, которая может принимать любые значения, и зависимая - y, которая для каждого значения x определяется по формуле y = ln x.

Если х приращивается на некоторую величину  , то прирост зависимой можно вычислить по формуле:

Предел отношения этих приращений будет равен:


Теперь, чтобы объяснить большую магию, задействуем магию поменьше :) - второй замечательный предел.

По одному из следствий из него, бесконечно малые величины x и ln(1 + x) - эквивалентны. Так что далее предел преобразуется следующим образом:


Что и требовалось доказать.


четверг, 3 мая 2012 г.

Дискриминант

Метод решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта знают почти все. Но, как мне пришлось убедиться, для многих эта формула: D = b2 - 4ac кажется своего рода заклинанием. И почему для получения корней сначала нужно произвести именно такую операцию с коэффициентами - загадка.

Чтобы понять, откуда взялась формула дискриминанта и почему она работает, попробуем решить квадратное уравнение без неё.

Итак, имеем уравнение ax2 + bx + c = 0, где первый коэффициент не равен нулю.

Для начала разделим обе части на a:


Было б здорово, если бы левую часть удалось свернуть по формуле квадрата суммы. Квадрат первого, x, уже есть. Тогда удвоенным произведением первого на второе должно стать:

Квадрат второго будет равняться


Прибавим его и отнимем от левой части уравнения:

Соберём три слагаемых левой части в квадрат суммы, а оставшиеся два - перенесём вправо:

Приведём правую часть к общему знаменателю:
Вот он! Выражение b2 - 4ac, стоящее в числителе правой части - и есть наш дискриминант. Почему же его знак определяет количество корней? Рассмотрим полученное уравнение внимательнее. Слева стоит квадрат. В знаменателе правой части - тоже квадрат. И только дискриминант может иметь любой знак. Поэтому, если он окажется отрицательным, полученное уравнение корней иметь не будет. Если нулевым - корень будет единственным (кстати, формула нахождения вершины параболы также происходит отсюда). И только для положительного дискриминанта будет 2 различных корня.

Ну а дальше - легко :)

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор корень задача структура тригонометрия е сайты формулы игра конструкция факториал функции приближение программа фрактал график последовательность комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм неизвестное треугольник интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр