пятница, 4 мая 2012 г.

Производная логарифма

Комментируя пост о дискриминанте, наш читатель Денис Сепетов привёл пример ещё одной формулы-заклинания.

Объяснить, почему производная натурального логарифма равна именно единице на икс, студенты и старшеклассники часто не могут.

В тоже время, здесь тоже всё очень просто и логично. Для начала вспомним, что такое производная. Классическое определение гласит:
Производная функции - это предел отношения приращения зависимой переменной к приращению независимой переменной, когда последнее стремится к нулю.
То есть, у нас есть две переменные: независимая, х, которая может принимать любые значения, и зависимая - y, которая для каждого значения x определяется по формуле y = ln x.

Если х приращивается на некоторую величину  , то прирост зависимой можно вычислить по формуле:

Предел отношения этих приращений будет равен:


Теперь, чтобы объяснить большую магию, задействуем магию поменьше :) - второй замечательный предел.

По одному из следствий из него, бесконечно малые величины x и ln(1 + x) - эквивалентны. Так что далее предел преобразуется следующим образом:


Что и требовалось доказать.


4 комментария:

  1. От себя могу добавить ещё один пример, как можно "вывести" эту формулу. Это даже короче, но требует интегрирования:

    1) Попробуем взять интеграл от 1/x, при этом мы "не знаем", что это натуральный логарифм. Будем действовать иначе
    2) Сделаем замену переменной: x = exp(t), dx = exp(t) dt
    3) получится простой интеграл: ( (1/exp(t))*exp(t) dt ) = (1 dt) = t
    4) Делаем обратную замену переменной и получаем: t = ln(x).

    Думаю, даже студенты оценят.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный29/7/14 14:03

      А что такое exp?

      Удалить
    2. exp(x) - так в строчку записывают e в степени х

      Удалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор задача корень структура тригонометрия е конструкция сайты формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр