пятница, 4 мая 2012 г.

Производная логарифма

Комментируя пост о дискриминанте, наш читатель Денис Сепетов привёл пример ещё одной формулы-заклинания.

Объяснить, почему производная натурального логарифма равна именно единице на икс, студенты и старшеклассники часто не могут.

В тоже время, здесь тоже всё очень просто и логично. Для начала вспомним, что такое производная. Классическое определение гласит:
Производная функции - это предел отношения приращения зависимой переменной к приращению независимой переменной, когда последнее стремится к нулю.
То есть, у нас есть две переменные: независимая, х, которая может принимать любые значения, и зависимая - y, которая для каждого значения x определяется по формуле y = ln x.

Если х приращивается на некоторую величину  , то прирост зависимой можно вычислить по формуле:

Предел отношения этих приращений будет равен:


Теперь, чтобы объяснить большую магию, задействуем магию поменьше :) - второй замечательный предел.

По одному из следствий из него, бесконечно малые величины x и ln(1 + x) - эквивалентны. Так что далее предел преобразуется следующим образом:


Что и требовалось доказать.


4 комментария:

  1. От себя могу добавить ещё один пример, как можно "вывести" эту формулу. Это даже короче, но требует интегрирования:

    1) Попробуем взять интеграл от 1/x, при этом мы "не знаем", что это натуральный логарифм. Будем действовать иначе
    2) Сделаем замену переменной: x = exp(t), dx = exp(t) dt
    3) получится простой интеграл: ( (1/exp(t))*exp(t) dt ) = (1 dt) = t
    4) Делаем обратную замену переменной и получаем: t = ln(x).

    Думаю, даже студенты оценят.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный29/7/14 14:03

      А что такое exp?

      Удалить
    2. exp(x) - так в строчку записывают e в степени х

      Удалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор дроби язык степень делимость пи методы история квадрат самоописывающее время задача система счисления узор корень тригонометрия структура е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал комбинаторика последовательность график память логарифм вероятность палиндром пределы конкурс треугольник магический квадрат неизвестное правильно-неправильное действие видео интеграл уравнение комплексные софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы матрица проценты разрезания логика парабола символ статистика 2014 Фибоначчи клеточный автомат кривая производная фокус головоломка действия иллюзия куб шахматы многоугольник новости оказывается оригами подобие построение сложение термин тетраэдр топология