вторник, 20 ноября 2012 г.

2013 из семи цифр

Наш читатель Семёныч нашёл два примера, связывающих первые 7 цифр с номером нового года:

123 + 45 * 6 * 7 = 2013

1 + 2 * (3 + 45) - 6 * 7 = 2013

понедельник, 19 ноября 2012 г.

2013 из троек

Красивое выражение, дающее в результате номер следующего года, нашёл Семёныч, ведущий раздела "Кладовая числовых диковинок" на Назве.

333 + 3 + 333 + 3 + 333 + 3 + 333 + 3 + 333 + 3 + 333 = 2013

воскресенье, 18 ноября 2012 г.

Танцующие делители


Читатели блога поделились ссылкой на чудесную анимацию. В ней для каждого натурального числа на экране располагаются соответствующее количество разноцветных точек. Расположение зависит от разложения числа на простые множители. Справа показан узор для числа 30.

Но лучше один раз увидеть :) Посмотреть анимацию можно здесь

суббота, 17 ноября 2012 г.

Что такое куча?

Лежит куча песка. Если из кучи забрать одну песчинку, ку так кучей и останется. Но ведь продолжая забирать из кучи по песчине, в итоге от самой кучи тоже только песчинка и останется. Что же, выходит, песчинка тоже является кучей?

Как говорил Рене Декарт, "Определив точно значения слов, вы избавите человечество от половины заблуждений." Но попытавшись выяснить, что такое куча, мы столкнёмся с неожиданным затруднением. Разные люди будут определять это понятие по-разному. Более того, будет существовать некоторое количество печинок, для которого сложно будет сказать, куча это или нет.

Обычно рассматриваемые в логике свойства или есть или нет (монета может быть фальшивой или настоящей, путешественник может или лгать или говорить правду). А, попросив 1000 человек сказать, с какого количества песчинок начинается куча, мы получим примерно такой график:

Если число песчинок превышает некоторе n, все будут абсолютно уверены, что имеющийся песок можно назвать кучей. А вот для меньших значений кто-то согласится называть персок так, кто-то - нет.

С подобными понятиями, истинность которых описывается не через да/нет, а через некоторую функцию принадлежности, оперирует раздел математики, называемый нечёткой логикой (fuzzy-logics). Мы, сами часто того не замечая, постоянно пользуемся нечёткими переменными. Фраза "собираемся в два" вовсе не означает, что все участники встречи будут на месте ровно в 14-00. Или "на улице тепло" - это сколько градусов?

Так что нечёткая логика имеет большое значение в интерпретации компьютером естественного языка человека.

пятница, 16 ноября 2012 г.

Кривизна рук

Иногда вместо устойчивого выражение "кривые руки" говорят вычурнее, скажем "вероятность ошибки прямо пропорциональна радиусу кривизны рук пользователя".


Однако с математической точки зрения, чем больше радиус кривизны дуги. тем она "прямее". А прямую вообще в некоторых задачах удобно рассматривать как окружность с бесконечным радиусом.

Так что вероятность ошибки должна быть не прямо, а обратно пропорциональна радиусу кривизны рук :)

 

четверг, 15 ноября 2012 г.

Пока 2012 год не закончился

В поисках интересных свойств числа 2013 я обратил внимание на то, что число 20 - это 12-е натуральное число, не являющееся простым.

среда, 14 ноября 2012 г.

Среднее арифметико-геометрическое

Что такое среднее арифметическое и среднее геометрическое хорошо известно. Оказывается, есть ещё один вид среднего, объединяющий эти два подхода.

Возьмём два числа, a и b. Затем заменим число a на их среднее арифметическое, а b - на среднее геометрическое. Будем поступать так до тех пор, пока разность между a и b не будет меньше требуемой точности.

На листе ГуглДоков вы можете поэкспериментировать с арифметико-геометрическим средним.

Обозначается это среднее как AGM(a,b) (от Arithmetic–geometric mean).

Например, AGM (1,2) = 1,45679...

вторник, 13 ноября 2012 г.

Злые числа

Если сложив от первой до некоторой n-й цифры дробной части числа x можно получить репдигит 666, то число x называют злым. Оказывается, злыми являются число пи и константа золотого сечения число фи. Требуемая сумма получается при складывании первых 144 или 146 цифр, соответственно.

Такое определение опять зависимо от выбранной системы счисления (кстати, в двоичной системе все иррациональные числа будут злыми). Но если рассмотреть аналогичным образом разложение числа в цепную дробь, от выбранной системы независящее, то и тут число пи окажется злым! Сумма первых 56 звеньев его цепной дроби даст 666.

понедельник, 12 ноября 2012 г.

Экономные числа

Разложим натуральное число на простые множители. Запись его разложения может иметь как больше цифр, чем само число (например, 2013 = 3*11*61), столько же цифр (27 = 33) или даже быть короче (1701 = 37*7 )

Числа первого вида в занимательной математике называются избыточными (wasteful). Это уже третье определение избыточного числа (первое относится к базовому свойству числа - сумме делителей, а второе - к названию числа в определённом языке).

Числа, разбиение которых на простые множители использует (с учётом больших единицы показателей степеней) столько же цифр, сколько их в самом числе, называются равноциферными (equidigital). В частности, все простые числа - равноциферны в любой системе счисления.

А те же числа, факторизация которых имеет меньше цифр, чем само число, называются экономными (economical). Наименьшее экономное число для десятичной системы - это 125 = 53. Затем идут 128 = 27 и 243 = 73

 

суббота, 10 ноября 2012 г.

Дважды за день

Сегодня случится два таких момента, когда дата и время образуют арифметическую прогрессию.

Первый раз - утром, в 07:08:09 10.11.12 . Второй - днём, 10.11.12 в 13:14:15

пятница, 9 ноября 2012 г.

Избыточные числа

Как-то я писал об избыточных числах. Но, оказывается, есть и другой смысл у этого термина, перекликающийся с задачей о поиске честных чисел.

Иногда альтернативная форма представления числа оказывается короче (имеет меньше букв), чем числительное - его название. Например, вместо "двадцать семь" (12 букв) можно сказать "три в кубе" (8 букв). Поэтому число 27 в русском языке является избыточным.

Интересно найти все избыточные числа, например, в первой сотне.


четверг, 8 ноября 2012 г.

Что толку в занимательной математике?

Иногда к математическим забавам вроде палиндромов, магических квадратов, фрактальных картинок или правильно-неправильных действий относятся скептически. Дескать, какая может быть практическая польза от этих игр с цифрами?

Если пользы от простой разминки ума покажется недостаточно, можно привести цитату из книги "Мелкие боги" Терри Пратчетта.

«Брута поднял глаза. На самом верху башни металлическими полосами был закреплен сверкающий на солнце большой диск.

– Что это? – прошептал он.

– Причина, по которой у Омнии больше нет флота, – ответил Ом. – Вот почему так полезно иметь под рукой нескольких философов. Они размышляют себе на тему «Истина – это красота, или красота – это истина?» или «Производит ли шум падающее в лесу дерево, если никто его не слышит?», а потом, когда ты уже решишь, что они вообще вот-вот обслюнявятся, один из них и говорит этак невзначай: «Интересной демонстрацией принципов оптики будет размещение на высоком месте тридцатифутового параболического зеркала, способного направлять солнечные лучи на вражеский флот». Философам приходят в голову удивительные идеи. А незадолго до этого в целях демонстрации принципа рычага было изобретено замысловатое устройство, способное метать шары горящей серы на расстояние в две мили. А до этого, насколько я помню, было придумано какое-то подводное судно, которое втыкало в днища кораблей заостренные бревна.»

Так вот, никогда не знаешь, каким практическим вопросам вдруг послужат задачки занимательной математики. Может быть, это будут новые алгоритмы шифрования, дешифрования, сжатия, может быть, что-либо ещё. Но, разумеется, мы любим занимательную математику вовсе не потому. Просто это весело!

среда, 7 ноября 2012 г.

Честные числа

С нового учебного года я начал читать два интересных блога по русскому языку. Блог ученика  Мир глазами человека и блог учителя Оно вам надо!


В ученическом блоге даются советы по подготовке к олимпиаде "Русский медвежонок", объясняются некоторые неочевидные правила, публикуются новости из других областей науки. Почитав же учительский блог, я тоже узнал много нового и искренне обрадовался за учеников, с которыми работает такой замечательный педагог, как его автор.

Так вот, на днях я вспомнил об одной задаче, лежащей на стыке языка и математики. Когда-то мы вместе с форумчанами Назвы и Смекалки искали самоописывающие выражения, то есть такие, количество букв в словесном описании которых равно их числовому значению. Как, например, в слове "три" ровно 3 буквы, а во фразе "два в кубе" букв 8.


После дальнейшего размышления оказалось, что есть способ построить подобное выражение для любого натурального числа, большего семи.

два в кубе = 8
трижды три = 9
дважды пять = 10
одиннадцать = 11
трижды четыре = 12
три плюс десять = 13
пять плюс девять = 14
треть сорока пяти = 15
восемь плюс восемь = 16
два плюс пятнадцать = 17

А теперь воспользуемся тем, что во фразе "плюс десять" ровно 10 букв и будем добавлять её к предыдущим выражениям:
два в кубе плюс десять = 18
трижды три плюс десять = 19
дважды пять плюс десять = 20
одиннадцать плюс десять = 21
......
дважды пять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять = 100
......

Кстати, в англоязычной занимательной математике используется название "честные числа" (honest numbers). Там честными оказались числа 4, 8, 10, 11 и все, большие двенадцати.

Да, задача решена. Но не стало ли немного грустно от того, что решение оказалось таким простым и однообразным?

Чтобы продолжить наши математические развлечения, можно попробовать подбирать примеры, в которых бы не использовался плюс или в которых одно математическое действие не использовалось бы более раза.

Тогда выходит намного интереснее:

восьмое простое число = 19
антье корня из шестиста пяти = 24
логарифм десятичный ста дециллионов = 32
Приглашаю продолжить и заполнить пробелы!

По тегу "самоописывающее" в блоге можно найти много других интересных конструкций, как математических, так и языковых..

вторник, 6 ноября 2012 г.

Репдигит

Репдигит - это число, которое состоит из повторяющихся цифр. Например, 111 или 5555. Иногда к репдигитам относят и однозначные числа: 1, 2, ... 9.

Поскольку здесь мы имеем дело с цифрами, то в разных системах счисления разные числа окажутся репдигитами. Например, число 26 будет репдигитом в троичной системе, ведь там оно выглядит как 222.

Репдигитом в тринадцатеричной системе счисления является число 2013. А некоторые числа являются репдигитами в нескольких системах. Сразу заметим, что любое число n записывается как 11 в системе счисления с основанием n-1 и является однозначным в системах с основанием n+1 и более.

Если рассматривать только системы счисления с основанием менее n-1, первым нетривиальным множественным репдигитом будет число 15. В двоичной системе оно запишется как 1111, а в четверичной - как 33.

Следующее - число 24:
(24)10 = (44)5 = (44)5 = (33)7 = (22)11

понедельник, 5 ноября 2012 г.

Число с делителями

Сумма числа 2013 и его простых делителей
2013 + 3 + 11 + 61 = 2088

равна сумме числа 2014 со своими простыми делителями:
2014 + 2 + 19 + 53 = 2088

воскресенье, 4 ноября 2012 г.

Три системы

Запишем число 2013 в двоичной системе:
(2013)10=(11111011101)2

В троичной:
(2013)10=(2202120)3

И в пятеричной:
(2013)10=(31023)5

Так вот, во всех этих трёх представлениях суммы цифр одинаковы!

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 =  2 + 2 + 0 + 2 + 1 + 2 + 0 = 3 + 1 + 0 + 2 + 3

суббота, 3 ноября 2012 г.

Тринадцатеричная система

2013 = 11 х 132 + 11 х 13 + 11
Поэтому в тринадцатеричной системе число записывается как (BBB)13

В системе счисления по основанию 13 цифры А, В, С обозначают десятичные числа 10, 11 и 12.

пятница, 2 ноября 2012 г.

Число Смита второй кратности

Числа Смита - это такие числа, сумма цифр которых равна сумме цифр их простых делителей.

Например, 728 = 2 х 2 х 2 х 7 х 13

7 + 2 + 8 = 2 + 2 + 2 + 7 + 1 + 3

Число 2013 - это число Смита второй кратности. Для него сумма цифр всех простых множителей вдвое больше суммы цифр числа.

2013 = 3 х 11 х 61
(2 + 0 + 1 + 3) х 2 = 3 + 1 + 1 + 6 + 1

четверг, 1 ноября 2012 г.

Готовимся к новому году

Через 2 месяца наступает новый, 2013 год, и пора начинать собирать интересные свойства этого числа.

Во-первых, 2013 раскладывается на простые множители как:
2013 = 3 х 11 х 61

Таким образом, у числа 8 делителей:
1, 3, 11, 33, 61, 183, 671 и 2013

Оно начинает серию из трёх идущих подряд чисел, имеющих 3 разных простых множителя (и, соответственно, 8 делителей):

2014 = 2 х 19 х 53

2015 = 5 х 13 х 31

Понятно, что длиннее серий не существует, т.к. среди четырёх подряд идущих чисел одно будет делиться на 4 и, следовательно, иметь кратный простой множитель.

Предыдущая такая серия начиналась с числа 1885, а следующая начнётся с 2665

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр