Оригами

Параболу можно получить и складывая лист бумаги. Для этого сначала поставим на листе точку. Затем будем сгибать его так, чтобы край листа проходил через эту точку. Сделав несколько таких сгибом увидим, что огибающая их будет являться параболой.

Сечение конуса

Если конус разрезать плоскостью, которая параллельна его образующей, в сечении получим параболу

Вершина параболы

У параболы, которая задаётся функцией
y=ax²+bx+с
абсцисса вершины находится по формуле

Как нарисовать параболу от руки

на клетчатом листе можно легко нарисовать параболу. Для этого сначала отмечаем точку - вершину параболы. Затем ставим новые точки, двигаясь вправо каждый раз на одну клетку, а вверх смещаемся на число клеток, равное последовательным нечётным числам: 1, 3, 5, 7 и т.д.

Далее так же получаем точки левой ветви параболы, и соединяем их плавной линией. 

Следует учесть, что в вершине ветви должны плавно переходить друг в друга, а не образовывать угол.

Сангаку

Из несчётного множества мировых обычаев и традиций, возможно, ни одно не сравнимо по элегантности и красоте с традицией сангаку - японской храмовой геометией. С 1639 по 1854 год Япония жила в жёсткой самоизоляции от Запада. Доступ ко всем формам западной культуры пресекался, и приток научных идей с Запада был эффективно сокращён. Именно в этот период изоляции и расцвела национальная разновидность математики.

Поклонники математики, обычно - самураи, купцы или крестьяне, могли решать многочисленные геометрические задачи, оформлять свои усилия на тонко раскрашенных деревянных дощечках и вывешивать эти изделия под крышами религиозных зданий. Изготовления этих сангаку, что дословно означает треугольник, могли быть проявлениями уважения - благодарности к руководящему духу - или же бросания вызова другим поклонникам: реши это, если сможешь!

В основном, сангаку имели дело с обычной евклидовой геометрией. Но задачи эти резко отличались от тех, что можно встретить в типичном курсе геометрии в высшей школе. Окружности и эллипсы играли в них гораздо более значимую роль, чем в западных задачах: окружности, вписанные в эллипсы, и эллипсы в окружностях. Некоторые из них весьма просты и могут быть решены студентами первого курса.

Другие же практически невероятны, и современные геометры неизменно штурмуют их с помощью продвинутых методов, включая вычисления и аффинные преобразования.

Источник

Вот пример задачи из сангаку:

Доказать, что при любом положении точек, обведённых синими кругами, площади бирюзовых фигур равны.
Здесь все четырёхугольники - квадраты. 

Домино из шахматной доски

Если из шахматной доски вырезать 2 угловых поля, лежащих на одной диагонали, то её станет невозможно полностью разрезать на "доминошки" 1x2.

Казалось бы, почему невозможно? Ведь остаётся 62 клетки, число чётное, и вполне может быть покрытое 31-й плиткой домино. Однако стоит вспомнить о раскраске. Среди оставшихся полей 30 белых и 32 чёрных. Доминошка же, как её ни располагай, будет всегда вмещать одно чёрное и одно белое поле. Таким образом, после того как вырежем из доски 30 плиток, останутся 2 несвязанные чёрные клетки.

Вычёркиваем одинаковые цифры

Вычёркиваем одинаковые цифры в числителе и знаменателе и получаем верное равенство:

А ещё нашим читателем найдена дробь, не меняющаяся при вычёркивании пары цифр:

Сумма четырёх дробей

Всего 14 способов представить единицу как сумму четырёх аликвотных дробей.

Разбиения числителей и знаменателей в произведения

Несколько интересных дробей привёл наш читатель в ответ на пост о правильно-неправильных сокращениях:

Интересно, есть ли подобные дроби, у которых числитель и знаменатель разбиваются на одинаковое число множителей? (Этого я сам не знаю).

Задачки

В задаче о представлении единицы в виде суммы четырёх аликвотных дробей нашими читателями из 14 способов найдено уже 7. Не хочу лишать удовольствия найти все разложения самостоятельно, а тем временем разовью в задачу ещё один пост блога.

Когда-то я писал о правильно-неправильном сокращении дроби

Можно получить верный результат, просто зачеркнув одинаковые цифры в числителе и знаменателе.

А сколько ещё существует дробей, обладающих таким свойством, у которых числитель и знаменатель - разные двузначные числа?

Нечет + нечет = ... Нечет?

Да, оказывается, бывает и такое. Дело в том, что в математике нечётными могут быть не только числа, но и функции. Функция называется нечётной, если для любых допустимых значений переменной выполняется соотношение:
f(-x)=-f(x)

Таким образом, функция s(x), полученная как сумма двух нечётных функций f(x)+g(x) также будет нечётной:

s(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-s(x)

График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Нечётными функциями являются прямая и обратная пропорциональности,  кубическая парабола, синус, тангенс, котангенс и некоторые другие.

Нарисовать окружность от руки

На клетчатой бумаге легко нарисовать окружность без циркуля. Для этого отметьте центр и 12 точек так, как показано на рисунке:

Расстояние от центра до каждой из точек равно 5 - они лежат на одной окружности. Через них можно провести плавную линию и от руки.

8 ферзей

Существует 92 способа расставить 8 ферзей на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга. Из этих способов только 12 - существенно различны, остальные же получаются из основных путём поворотов и отражений.

Единица

Есть три способа представить единицу в виде суммы трёх аликвотных дробей:

И только в одном из них все слагаемые различны.

А сколькими способами представляется единица в виде суммы четырёх аликвотных дробей?