Треугольник и тетраэдр

Треугольные числа - это числа, равные суммам последовательных натуральных чисел:
1, 3 = 1+2, 6 = 1+2+3, 10 = 1+2+3+4, 15 = 1+2+3+4+5 и т.д.

Треугольными их стал называть ещё Пифагор. Действительно, если сначала положить на стол 1 монету, затем к ней приложить 2 монеты, получится треугольник. Затем его можно увеличивать, прикладывая ряды в 3, 4, 5 и т.д. монет.

Тетраэдрические числа образуются, если выйти в пространство. Берём один шар. Кладём его на треугольник, образованный тремя шарами. Полученный тетраэдр наращиваем ещё одним слоем из шести шаров, затем - из 10-ти и т.д.

Количества шаров в получающихся тетраэдрах будет равно:
1, 4 = 1+3, 10 = 1+3+6, 20 = 1+3+6+10, 35 = 1+3+6+10+15 и т.д.

Таки образом, тетраэдрические числа - это суммы последовательных треугольных чисел, начиная с единицы.

Число 10 является наименьшим (помимо, очевидно, единицы) числом, которое является одновременно и треугольным, и тетраэдрическим.

Сумма кубов

Число 9 - это единственный квадрат, равный сумме двух последовательных кубов:

9 = 3² = 1³+2³

Сумма простых

Число 5 - единственное простое число, равное сумме всех простых чисел, меньших его.

Покрытие плоскости семиугольниками

Оказывается, не существует выпуклого семиугольника, которым можно было бы замостить плоскость.

А вот с помощью невыпуклых семиугольников эта задача решается, например, так:

Не 142857 единым...

Многие любители занимательной математики знают о чудестном свойстве числа 142857. Циклическая перестановка цифр в нём позволяет получить его же, умноженное на 2, 3, 4, 5 и 6.

Поэтому при решении задачи о поиске шестизначного числа, которое увеличивается в целое число раз после перестановки последней цифры в начало, число 142857 первым приходит в голову как вероятный ответ. Однако, оказывается, таким свойством обладают много больше чисел.

Вот все они:
102564 х 4 = 410256
128205 х 4 = 512820
142857 х 5 = 714285
153846 х 4 = 615384
179487 х 4 = 717948
205128 х 4 = 820512
230769 х 4 = 923076

Период дроби 1/2017

Десятичная запись дроби 1/2017 имеет период длины 2016, т.е. 2017-1. Вообще, длина периода, равная n-1 - это наибольшее теоретически возможное значение для дроби 1/n.

Кто-то может сказать, что дробь 1/2017 даёт период длины 2016 из-за того, что оно простое. Однако, не для всех простых достигается максимальная возможная длина периода. Например, 1/3 = 0,(3) имеет период длины 1, а не 2.

2017 пи

Мало того, что число 2017 простое. Если его умножить на пи и округлить, то результат (6337) тоже будет простым. А если 2017 умножить на е и округлить, мы снова получим простое число, 5483.