вторник, 14 июля 2015 г.

Сумма всех натуральных чисел

Для числа 12 на математических часах я выбрал одну их наиболее парадоксальных формул, согласно которой сумма всего бесконечного множества натуральных чисел равна конкретному (!) дробному (!) отрицательному (!) числу.

А именно, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n = -\frac{1}{12}$

Чтобы разобраться, как такое может быть, начнём с ряда 1-1+1-1+1-1+1-1+......
Так как его сумма не стремится к какой-либо определённой величине, а принимает поочерёдно два различных значения: 1 или 0, он считается расходящимся.

Однако можно расширить понятие суммирования рядов и на расходящиеся, для начала приняв:
S = 1-1+1-1+1-1+1-1+...
Тогда этот же ряд можно записать как:
1-(1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1-S

Имеем уравнение:
S = 1-S
S = 0,5

Теперь возьмём этот ряд и возведём его в квадрат. При умножении рядов (a1+a2+a3+a4+...) на (b1+b2+b3+b4+...) получается ряд
(a1b1)+(a1b2+a2b1)+(a1b3+a2b2+a3b1)+(a1b4+a2b3+a3b2+a4b1), в котором в один член группируются произведения тех елементов рядов-множителей, для которых сумма индексов постоянна.

Получается, что (1-1+1-1+1-1+1-1+...)*(1-1+1-1+1-1+1-1+...) = 1+(1*(-1)+(-1)*1)+(1*1+(-1)*(-1)+1*1)+(1*(-1)+(-1)*1+1*(-1)+(-1)*1)+... = 1-2+3-4+5-6+7-...

Таки образом, сумма натурального знакопеременного ряда 1-2+3-4+5-6+7-... равна 0,52 = 0,25

Теперь сделаем ещё один шаг. Какой ряд надо прибавить к натуральному знакопеременному ряду, чтобы получить натуральный?

1-2+3-4+5-6+7-8+...
+
0+4+0+8+0+12+0+16+...
__________________
1+2+3+4+5+6+7+8+...

Но прибавляемый ряд равен учетверённому натуральному ряду:
0+4+0+8+0+12+0+16+... = 4(1+2+3+4+...)

Значит, 1-2+3-4+5-6+7-8+... = 1+2+3+4+... -4(1+2+3+4+...)= -3(1+2+3+4+...)
-3(1+2+3+4+...)=0,25
Откуда
$1+2+3+4+5+6+7+8+\dots=-\frac{1}{12}$

Впервые этот результат был получен Рамануджаном. И это не результат софизма и не пустое развлечение. Как оказалось, величина $-\frac{1}{12}$ для суммы всех натуральных чисел сейчас находит применение в квантовой механике.

4 комментария:

  1. Это серьёзно не шутка? Как же быть с тем, что сумма положительных чисел может быть только положительной, а сумма целых только целой?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нет-нет, серьёзно. Как именно применяется в теории струн этот результат я не углублялся, но в математике существует развитая теория суммирования расходящихся рядов (прямо по К.Х.Хунте: "Что толку решать задачу, когда решение есть? Вот если решения нет - тогда стоит думать, как её решать!")

      Удалить
  2. Анонимный10/8/15 15:50

    Этот результат был получен до Рамануджана, Эйлером.

    Чтобы не путаться, лучше не называть это суммой, а, например "суммой во обобщенном смысле" (иногда называют суммой Рамануджана). Такая сумма в обобщенном смысле, это сопоставление бесконечному расходящемуся (в обычном смысле) ряду, конечного числа, которое (сопоставление), в некоторых задачах (как, например, уже было сказано, в физике) имеет определенный смысл, ибо манипулировать с бесконечностями в физике трудно.

    ОтветитьУдалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор дроби язык степень делимость пи методы история квадрат самоописывающее время задача система счисления узор корень тригонометрия структура е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал комбинаторика последовательность график память логарифм вероятность палиндром пределы конкурс треугольник магический квадрат неизвестное правильно-неправильное действие видео интеграл уравнение комплексные софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы матрица проценты разрезания логика парабола символ статистика 2014 Фибоначчи клеточный автомат кривая производная фокус головоломка действия иллюзия куб шахматы многоугольник новости оказывается оригами подобие построение сложение термин тетраэдр топология