суббота, 18 августа 2012 г.

Синус половинного угла

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса угла:
sin2a = 2 sina cosa

Попробуем теперь получить формулу синуса половинного угла. Для этого используем тригонометрическую единицу:
1 = sin2a + cos2a

И косинус двойного угла:
cos2a = cos2a - sin2a

Вычтем почленно эти выражения:
1 - cos2a = 2 sin2a

Отсюда:
синус половинного угла

Так как слева угол вдвое меньший, чем справа, то формулу можно переписать и как:
синус половинного угла

Аналогично косинус половинного угла выражается так:
косинус половинного угла

А теперь начинается самое интересное. С помощью этих формул покажем, как из бесконечного корня из предыдущего поста вылезает пи.

Выразим синус альфа через угол вдвое больший, и затем будем выполнять эту операцию ещё и ещё:
доказательство
доказательство

А теперь возьмём угол альфа, равным
  доказательство

 Тогда его синус будет равен: доказательство

С ростом n этот угол будет стремиться к нулю. А, согласно первому замечательному пределу, синус малых углов равен самому углу в радианах, т.е. для стремящегося к бесконечности n, получим:

доказательство

Отсюда и выходит предыдущий удивительный результат.

1 комментарий:

  1. Анонимный18/8/12 16:41

    Хех... совсем не того уровня удивление. :((

    ОтветитьУдалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор дроби язык степень делимость пи методы история квадрат самоописывающее время задача система счисления узор корень тригонометрия структура е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал комбинаторика последовательность график память логарифм вероятность палиндром пределы конкурс треугольник магический квадрат неизвестное правильно-неправильное действие видео интеграл уравнение комплексные софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы матрица проценты разрезания логика парабола символ статистика 2014 Фибоначчи клеточный автомат кривая производная фокус головоломка действия иллюзия куб шахматы многоугольник новости оказывается оригами подобие построение сложение термин тетраэдр топология