суббота, 18 августа 2012 г.

Синус половинного угла

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса угла:
sin2a = 2 sina cosa

Попробуем теперь получить формулу синуса половинного угла. Для этого используем тригонометрическую единицу:
1 = sin2a + cos2a

И косинус двойного угла:
cos2a = cos2a - sin2a

Вычтем почленно эти выражения:
1 - cos2a = 2 sin2a

Отсюда:
синус половинного угла

Так как слева угол вдвое меньший, чем справа, то формулу можно переписать и как:
синус половинного угла

Аналогично косинус половинного угла выражается так:
косинус половинного угла

А теперь начинается самое интересное. С помощью этих формул покажем, как из бесконечного корня из предыдущего поста вылезает пи.

Выразим синус альфа через угол вдвое больший, и затем будем выполнять эту операцию ещё и ещё:
доказательство
доказательство

А теперь возьмём угол альфа, равным
  доказательство

 Тогда его синус будет равен: доказательство

С ростом n этот угол будет стремиться к нулю. А, согласно первому замечательному пределу, синус малых углов равен самому углу в радианах, т.е. для стремящегося к бесконечности n, получим:

доказательство

Отсюда и выходит предыдущий удивительный результат.

1 комментарий:

  1. Хех... совсем не того уровня удивление. :((

    ОтветитьУдалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл палиндром уравнение видео комплексные магический квадрат правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр