понедельник, 31 мая 2010 г.

V

По одной из версий, римская цифра 5 - V - это полураскрытая ладонь. Тогда десятка X - это две ладони.

По другой же версии, сначала появилось обозначение для десятки. При счёте до девяти писали рядом несколько вертикальных палочек, а десятой их перечёркивали. Такой способ записи дал обозначение для десятки - перечёркнутая палочка. А пятерка - это половина десятки.

воскресенье, 30 мая 2010 г.

3

Это единственное натуральное число, равное сумме всех натуральных чисел, меньших себя самого

суббота, 29 мая 2010 г.

На лекции

Профессор математики ведёт лекцию. В аудитории сидят всего три студента.
Вдруг пятеро студентов выходят из аудитории. Профессор расстраивается:
- Ну вот, сейчас двое придут, и вообще никого не останется...

пятница, 28 мая 2010 г.

1681

Решая задачу, которую мне загадал Илья с форума smekalka.pp.ru, я выяснил, что число 1681 - наибольший точный квадрат, не делящийся на 100, остающийся таковым после отбрасывания последней пары цифр.

четверг, 27 мая 2010 г.

Самоописывающее равенство

5+3+2+1+0+1+0+0+0+0=12

В этом равенстве 5 нулей, 3 единицы, 2 двойки, 1 тройка, 0 четвёрок, 1 пятёрка, 0 шестёрок, 0 семёрок, 0 восьмёрок и 0 девяток. Всего в нём 12 цифр.

среда, 26 мая 2010 г.

Приближение числа пи

Очень хороши приближением числа пи служит дробь 
приближение числа пи дробью 355/113


Она отличается от самого числа лишь в седьмом знаке после запятой.

Запомнить эту дробь очень просто. Выпишем по два раза первые 3 нечётных числа:
1 1 3 3 5 5

Затем разобьём их на две группы:
1 1 3 | 3 5 5

Теперь правая группа идёт в числитель, а левая - в знаменатель дроби.

понедельник, 24 мая 2010 г.

Крестики-Нолики

Автор: Мартин Гарднер.

Книга содержит эссе, задачи и головоломки из различных областей математики. Рассчитана на любителей занимательной математики.

Эту книгу мне на первом курсе дал почитать друг, а я её так и не вернул. (Нет, не думайте ничего плохого, он в курсе, что эта книга у меня и разрешает подержать её подольше :) )

В этой книге можно прочитать о:
  • геометрических и алгебраических софизмах,
  • задачах по теории вероятности (в частности, задача о картах со второй интернет-олимпиады по математике - оттуда),
  • нерешённых математических проблемах,
  • самоописывающих фразах,
  • математических парадоксах,
  • клеточных автоматах и игре "Жизнь"
и многом другом. К примеру, есть подборка коротких красивых логических задач.

Книгу можно скачать из библиотеки Куб.ру

Какие ещё книги по математике стоит прочитать

воскресенье, 23 мая 2010 г.

Лемниската

Лемниската - это геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до фокусов - величина постоянная.

В зависимости от значения этого произведения, лемниската с двумя фокусами может представлять собой овал, восьмёрку или два яйцевидных овала.
лемниската


"Восьмёрка" возникает, когда расстояние между фокусами вдвое требуемого произведения расстояний до них, с. Она описывается уравнением:



Фокусов может быть сколько угодно. Вот пример семейства лемнискат с восемью фокусами:

лемниската

суббота, 22 мая 2010 г.

Эвольвента

Поставим на стол вертикально катушку ниток, и к концу нитки прикрепим грифель карандаша. Если теперь разматывать катушку в горизонтальной плоскости, держа нить всё время натянутой, карандаш нарисует эвольвенту окружности.


(Картинка с Wikipedia.org)


Хотя получившаяся кривая похожа на спираль Архимеда, это не она. Эвольвента окружности описывается уравнениями:

x=R(cosT+TsinT)
y=R(sinT-TcosT)

пятница, 21 мая 2010 г.

Гипербола

Наиболее частый пример гиперболы - график функции формула гиперболы.

Однако такая же гипербола, только повёрнутая на 45o будет графиком функции формула гиперболы

графики гипербол

четверг, 20 мая 2010 г.

Циклоида

Циклоида - это траектория точки обода катящегося колеса.


(картинка с wikipedia.org)

Она задаётся параметрически по формулам:

x = t − sint
y = 1 − cost

среда, 19 мая 2010 г.

Неделя графиков продолжается!


В общем виде такой график получается по формулам
x=cos(AT)
y=sin(BT)

В данном случае A=3, B=5.
Обратите внимание, что при взаимно простых А и В кривая имеет А точек касания с вертикальной и В - с горизонтальной касательными.

вторник, 18 мая 2010 г.

Спираль Архимеда

Спираль Архимеда можно представить как траекторию жука, бегущего вдоль минутной стрелки часов.

спираль Архимеда

Она строится в полярных координатах по формуле
 спираль Архимеда в полярных координатах

Или параметрически как
x=TcosT
y=TsinT

понедельник, 17 мая 2010 г.

Цветик-семицветик




Вот такой цветочек является графиком параметрически заданной функции

x:=R1(1+cos(7T))cos(O1T)+R2cos(O2T);
y:=R1(1+cos(7T))sin(O1T)+R2sin(O2T);

R1=100,
R2=25,
O1=1,
O2=500,

воскресенье, 16 мая 2010 г.

четверг, 13 мая 2010 г.

понедельник, 10 мая 2010 г.

Неделя самоописывающих выражений

В ходе поиска десятибуквенного числительного, обозначающего в некотором языке число 10, были найдены интересные самоописывающие выражения.
То, что ровно десять букв содержится во фразе "плюс десять" заметила Наталия Макарова, исследователь магических квадратов.

воскресенье, 9 мая 2010 г.

Синус-косинус



Построение этого алгебраического фрактала происходит, основываясь на итерационном правиле

Zn+1=sin(Zn)*cos(С)

суббота, 8 мая 2010 г.

IFS-фрактал



Правило 1
xn+1= 0.25xn-0.13125yn+0.325
yn+1= 0.29375xn+ 0.38125yn -0.45625
p=0,33

Правило 2
xn+1= 0.5xn+  0.5yn+0.50313
yn+1= -0.5xn+0.5yn-0.50313
p=0,33

Правило 3
xn+1= 0.5xn+  0.5yn+0.50313
yn+1= -0.5xn+0.5yn+0.49688
p=0,34

Как всегда, по щелчку на картинке можно скачать изображение в полном размере.

пятница, 7 мая 2010 г.

Веточка


Вот такая красивая веточка получается, если при генерации IFS-фрактала задать два правила:

Правило 1
xn+1= -0.65313xn+0.14062yn+0.2
yn+1= 0.20625xn+ 0.60625yn-0.5875
p=0,5

Правило 2
xn+1= 0.85xn+  0.0875yn+0.275
yn+1= -0.2125xn+0.8yn+ 1.0625
p=0,5

четверг, 6 мая 2010 г.

Лист папоротника - IFS-фрактал

(можно скачать фрактал в размере 800x800)

IFS-фракталы строятся по следующему алгоритму:

Задаётся некоторое множество правил перехода текущей точки в следующую, у каждого правила - своя вероятность p его применения. Далее, начиная с точки (0;0), случайным образом выбирается правило и находится следующая точка, из неё получают следующую, и так далее.

Конкретно для этого рисунка набор правил был следующим:
Правило 1
xn+1=0
yn+1=0,16yn
p=0,01

Правило 2
xn+1=0,85xn+0,04yn
yn+1=-0,04xn+0,85yn+1,6
p=0,85

Правило 3
xn+1=0,2xn-0,26yn
yn+1=0,23xn+0,22yn+1,6
p=0,07

Правило 4
xn+1=-0,15xn+0,28yn
yn+1=0,26xn+0,24yn+0,44
p=0,07

Этот, как и остальные представленные с блоге фракталы, построен с помощью программы Fractal Explorer

среда, 5 мая 2010 г.

Жюлиа с кубом вместо квадрата

Это фрагмент множества Жюлиа, получающегося для итерационного процесса Zn+1=Zn3+С при С=0,66+0,5i

Щёлкнув по картинке, можно скачать её в полном размере.

вторник, 4 мая 2010 г.

Множество Жюлиа

Множество Жюлиа строится аналогично множеству Мандельброта, только величину C берут не с комплексной плоскости, а задаются ей вначале, для каждой же точки вычисляется число шагов, за которое последовательность итераций Zn+1=Zn2+С уйдёт из круга радиусом 2. 

Представленное здесь множество получается при C=0,31+0,47i .

При щелке на картинку, её можно скачать в разрешении 1024х768.




понедельник, 3 мая 2010 г.

Неделя фракталов на Десяти буквах

Каждый день с 3 по 9 мая мы будем публиковать новую фрактальную картинку.

Та выглядит область Мандельброта в окрестности точки (0,2676553; 0,0040904):

воскресенье, 2 мая 2010 г.

Числовая пирамида

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

суббота, 1 мая 2010 г.

4

Число 4 - единственный квадрат, стоящий между парой простых чисел-близнецов.
Кроме того, это единственная степень двойки, обладающая данным свойством.

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е конструкция сайты формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр