вторник, 27 декабря 2011 г.

Праймориал

Перед Новым Годом на математических форумах вновь обретает популярность развлечение: составить из цифр 2, 0, 1 и 1 математическое выражение, значение которого равнялось бы равнялось бы некоторому наперёд заданному числу. Если в помощью четырёх знаков действий, возведения в степень и квадратного корня это оказывается сделать затруднительно, на помощь приходят более экзотические функции, например, праймориал.

Праймориал числа n - это произведение всех простых чисел, не превосходящих n. Обозначается он решёткой #. Например, праймориал 20-ти равен:
20# = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 = 9699690

суббота, 24 декабря 2011 г.

5 цифр

Наш постоянный читатель и комментатор Николай составил выражение, в которое входят цифры от 1 до 5, и результатом которого является 2012, номер будущего года:

452 - 13

С цифрами от 0 до 5 получается следующее:

4 * 502 + 1 + 3

пятница, 23 декабря 2011 г.

Снежное дерево

Так хочется настоящего снега этой зимой! И я написал флеш-игру, которая использует те же алгоритмы, что и моя программа для снегопада на рабочем столе.


Двигая зажатой кнопкой мыши вы создаёте воздушные потоки, которые несут с собой снежинки. Достигнув земли, снежинки начинают формировать дерево. Цель игры - вырастив дерево, собрать висящие в воздухе подарки.


Сейчас игра участвует в конкурсе на двух сайтах, там можно поиграть и, если понравится, поддержать.
Вот - http://www.kongregate.com/games/GeneralVimes/snow-tree
и вот - http://www.newgrounds.com/portal/view/586449

четверг, 22 декабря 2011 г.

2 + 2 = 5

Сейчас в блоге всего две записи в категории софизмы: с извлечением корня и интегрированием частями.

Но самый популярный математический софизм  использует неявное деление на 0. И хотя многим он напомнит о русском крейсере, всё же запосчу.

Начнём с очевидного равенства
5 - 4 = 1

Умножим левую и правую часть его на единицу:
(5 - 4)(5 - 4) = 1(5 - 4)

Раскроем скобки, не приводя подобные:
5*5 - 5*4 - 5*4 + 4*4 = 1*5 - 1*4

Преобразовываем:
5*5 - 5*4 + 4*4 = 5*4 + 1*5 - 1*4
5*5 - 5*4 = 5*4 + 1*5 - 4*4 - 1*4
5*5 - 5*4 - 1*5 = 5*4 - 4*4 - 1*4 

Выносим общий множитель за скобки:
5(5 - 4 - 1) = 4(5 - 4 - 1)

И сокращаем:
5 = 4

среда, 21 декабря 2011 г.

Масла в огонь

В копилку страхов и предсказаний, связанных с 2012 годом, добавил ещё одно забавное свойство наш читатель Николай.

Разделим жуткое число 2012 на не менее жуткое число 666. В результате в целой части будет 3, далее после запятой идёт 0, а затем будут цифры 2, 1, 0, 2, т.е. само число 2012, записанное наоборот!

2012 / 666 = 3,02102...

4 квадрата

Чтобы получить число 2011, нужно 3 квадрата, об этом мы уже писали. А для числа 2012 даже трёх квадратов недостаточно, их нужно целых четыре!

Вот, например, так:
2012 = 332+272+132+52

Всего будет 39 подобных способов, из которых в 24 случаях все слагаемые различны.

пятница, 16 декабря 2011 г.

Боначчиевич

В прозвище Леонардо Пизанского, гениального математика Средневековья, часто норовят удвоить первую букву б и написать его "Фиббоначчи". Избежать подобной ошибки поможет знание того, что Фибоначчи - это на самом деле отчество и изначально писалось раздельно: filius Bonacci, т.е. сын Боначчи. Есть и другая версия его происхождения, но и в ней первое "Фи" означает "сын". Да и сейчас сын по-итальянски будет figlio (фильо).

А весной я писал о том, как запомнить правила правописания некоторых математических терминов.

вторник, 13 декабря 2011 г.

Устный счёт

Сегодня на Хабре avfonarev рассказал о своём приложении для iPad, в котором предлагается решать задачи в уме. Основано оно на задачнике Сергея Александровича Рачинского.

И хотя про саму картину, изображаюoe. его урок, я знал давно, даже хотел использовать как один из уровней в своей игре, о самом Рачинском и его задачнике когда-то, наверняка, читал, но забыл.


А задачник этот, «1001 задача для умственного счета», и основанное на нём приложение, оказались весьма полезными сейчас для тренировки мозгов, привыкших к калькуляторам.

Вот пример задачи оттуда, попробуйте решить устно:

У меня под огородом 1 десятина. В нем картофель занимает в 7 раз больше места, чем капуста, капуста в 7 раз больше, чем горох, горох в 7 раз больше, чем лук, а именно лук занимает 1 грядку шириною в 2 аршина. Как длинна эта грядка?
1 десятина = 2400 кв.саженям
1 сажень = 3 аршина


У меня получилось :) Кстати, года 2 назад я писал пост об онлайн-библиотеках, где можно найти материалы для подготовки к олимпиадам. Задачник оттуда тоже можно скачать.

воскресенье, 11 декабря 2011 г.

суббота, 10 декабря 2011 г.

пятница, 9 декабря 2011 г.

Троичная система

Т.к. все цифры в записи числа 2012 меньше трёх, то его можно рассмотреть как запись некоторого числа в троичной системе. Таким числом будет 2x33+0x32+1x31+2x30=54+3+2=59.

Кстати, простое число 59 является решением одного из вариантов задачи о раскладывании предметов:
Торговка пыталась разложить яйца поровну в 2, 3, 4, 5 или 6 корзин, но каждый раз оставались лишними 1, 2, 3, 4 или 5 яиц, соответственно. Найдите их наименьшее возможное количество.

А каким бы был ответ задачи, если бы при таком раскладывании всегда оставалось одно лишнее яйцо и корзины бы не оказывались пустыми?

четверг, 8 декабря 2011 г.

Степени двойки

Все цифры числа 2012 являются или степенью двойки или нулём. Это же свойство имеет и квадрат числа 2012, число 4048144.

среда, 7 декабря 2011 г.

Нули и единицы

Оказывается, существует ровно 2012 последовательностей из 12 нулей и единиц, в которых группа цифр 001 встречается только 1 раз.

Также в 2012 последовательностях из 12 нулей и единиц будут равное число раз встречаться группы 0001 и 0100.

А если рассмотреть последовательности длины 13, то в 2012 из них не найдётся ни 0001, ни 0011.

вторник, 6 декабря 2011 г.

Венера

Кроме уже указанных астрономически-календарных свойств 2012 года, в нём произойдёт ещё одно замечательное событие: прохождение Венеры по диску Солнца.

Оно случится 6 июня. Предыдущий раз это было в 2004 году, а следующий наступит аж в 2117.

понедельник, 5 декабря 2011 г.

2012!

В факториале числа 2012 содержится 5776 цифр, это квадрат числа 76.

Такое, чтобы количество цифр в факториале номера года было полным квадратом, в прошлый раз случалось в 1921 году, а следующий раз будет только в 2105 году.

Кстати, число 76 интересно само по себе также тем, любая его степень оканчивается на 76. Из двузначных чисел таким свойством обладает также число 25. А существуют ли трёхзначные числа, которые совпадают с трёхциферными окончаниями своих степеней?

пятница, 2 декабря 2011 г.

8

По-английски 8 (eight) произносится так же как и глагол "съесть" в прошедшем времени (ate). На этом основана английская шутка:

- Почему шестёрка боится семёрки?
- Потому, что 7, 8, 9!

(по английски 7, 8, 9 звучит как seven ate nine, т.е. семёрка съела девятку).

четверг, 1 декабря 2011 г.

Как сложить числа

Когда был Гаусс маленький, с кудрявой головой...

В общем, великий математик Карл Фридрих Гаусс, тоже учился в школе. В школе этой в одном классе занимались дети разных лет. И вот, чтобы надолго занять малышей, учитель предложил им подсчитать сумму всех чисел от 1 до 100: 1+2+3+...+100.

Но пока учитель диктовал условие, маленький Гаусс уже быстро сообразил, что суммы крайних чисел в этой последовательности постоянны: 1+100=2+99=3+98=...=50+51=101. И, так как таких пар будет 50, искомый результат равен 5050.

Впрочем, эту историю наверняка вы уже где-то читали. А кто тогда сможет сказать, что это за крейсер?

Популярные сообщения