Эвклидово доказательство бесконечности количества простых чисел

Допустим, простых чисел конечное количество. Но тогда, если их все перемножить, и прибавить единицу, получим число, которое не делится ни на одно из простых.

Вот на этом шаге часто, воспроизводя доказательство Эвклида, делают ошибку и говорят, что полученное число само является простым. Однако это не так: оно может быть или простым, или делящимся на некоторое простое число, большее максимального простого, входящего в произведение.

Действительно, числа
2+1=3
2*3+1=7
2*3*5+1=31
2*3*5*7+1=211
2*3*5*7*11+1=2311
- все простые, однако следующее:
2*3*5*7*11*13+1=30031 - составное, оно делится на 59.

Об этом математическом заблуждении, прочитав заметку о сумме иррациональных чисел, напомнил мне mmmkot.

Доказательство Эвклида очень хорошо иллюстрирует также принцип доказательства от противного: сначала мы предполагаем, что нечто верно, а затем показываем, к какому противоречию. приводит данное допущение.