вторник, 12 октября 2010 г.

Длина кривой Коха

Рассмотрим построение кривой Коха. На очередном шаге каждый отрезок заменяется на 4-звенную ломаную:
построение кривой Коха
Таким образом, с каждым шагом общая длина линии возрастает на треть, т.е. в  раза. Т.к. это число больше единицы, то получаемая геометрическая прогрессия с ростом числа шагом будет возрастать неограниченно.

Длина кривой Коха бесконечна.

8 комментариев:

  1. Анонимный12/2/11 11:55

    Супер-люкс ! с деньгами бы так !

    ОтветитьУдалить
  2. НЕ С КАЖДЫМ ШАГОМ! конкретно в первом шаге да, НО! уже на второй итерации прибавка будет в 4 раза меньше предыдущей ведь отрезок будет использоваться уже не от всей кривой а от меньших её частей...на следующем ещё меньше, и так до бесконечности пока прибавка не станет около нуля... такая прибавка намного меньше единицы...=> длинна не станет бесконечной, бесконечной станет её дробная часть. ч.и т.д.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Не пойму, как так? Да, для каждого из отрезков прибавка будет вчетверо меньше. Но ведь таких отрезков на втором шаге будет вчетверо больше.

      Удалить
    2. а я вот не пойму как можно вообще повторять шаги бесконечное число раз? это не возможно в принципе...шаг это целое число повторений операции => не бесконечное число...да и на первом шаге конец у кривой куда нибудь делся? нет? а на втором? на третьем? нет он всегда в одной и той-же точке...и начало тоже никуда не делось... наличие начало и конца ограничивает наш отрезок не позволяя ему увеличится до бесконечности сколько бы мы раз его не ломали...бесконечность подразумевает отсутствие конца вот если бы это был луч я бы сказал что он бесконечен...

      Удалить
  3. хмм...забавно... нарисовал на листке до 5-го шага и обнаружил что если идти 1/3 по ребру первого шага,затем свернуть и пройти 1/3 по ребру второго шага,затем третьего и т.д. то получится что мы идём по спирали... собственно говоря я это к тому что кривая изгибается по спиралям вот почему оно бесконечно... я не поверил что она бесконечна исключительно из-за её формы... Я предполагал что бесконечная линии должна по идее выходить за рамки листа благодаря бесконечности... такого не происходит за счёт того что каждый новый треугольник меньше предыдущего, но и тут есть обман на самом деле в первом шаге нам показывают 1 толщину линии. почему-то во многих программах построения фракталов при увеличении толщина линии остаётся такой же хотя она явно должна соответствовать масштабу)... в реальности уже после 7-го шага размер треугольника сравнялся бы с толщиной линии и никакой бесконечности бы не получилось....

    ОтветитьУдалить
  4. Конечно же, бесконечность - это абстракция, в чистом виде она недостижима. Но математика модет ответить, например, на вопрос: Если будем что-то делать бесконечное число шагов, будел ли получен бесконечный результат или нет? Например, складывая дроби 1/2+1/3+1/4+1/5+... - ответ да, а для дробей 1/2+1/4+1/8+1/16+ююю - ответ нет.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Мне кажется тут проблема в понимании самой бесконечности... При выполнении бесконечного числа шагов результат получить не получится. Потому что сам процесс выполнения шагов будет бесконечен - то есть не иметь конца, а если конца нет то и конечного результата тоже нет. Даже простое складывание требует по очерёдности то есть 1/2 + 1/3 посчитать в первый момент времени, затем к результату прибавить 1/4 во второй момент времени , затем 1/5 и так далее. все эти вычисления не возможно вычислить одномоментно. Потребуется время, а для бесконечного вычисления потребуется бесконечное количество времени. Та математика что вы мне предоставили не может ответить на те вопросы которые вы написали так как ответ не будет получен в принципе, никогда. Я просто хотел доказать что в кривой коха мы можем получить сколь угодно большую длину, но никак не бесконечную.

      Удалить
    2. А ведь полное определение того, что для простоты называют "стремится к бесконечности", именно так и выглядит. Если зафиксировать любое, сколь угодно большое N, то найдётся некоторое конечное n, что после n шагов результат будет превышать N.

      Удалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр