четверг, 5 ноября 2015 г.

Сумма восьми квадратов

Существует ровно 2016 способов представить число 5 в виде суммы восьми квадратов целых чисел. Почему так много? Давате подсчитаем.

Для начала, есть основных 2 способа представить число 5 в виде суммы восьми слагаемых, каждое из которых является квадратом (и мы не учитываем перестановку слагаемых).
Это:

5 = 4+1+0+0+0+0+0+0
5=1+1+1+1+1+0+0+0

Теперь учтём перестановку слагаемых. В первом способе место для четвёрки можно выбрать 8-ю способами, и место для единицы - 7-ю способами. Итогог он нам даёт 56 расстановок слагаемых.

Со втором способе места для единиц можно выбрать $C_8^5$ (или, что то же самое, места для нулей можно выбрать $C_8^3$) способами, что составит ещё 56 способов.

Теперь учтём, что 4 может быть квадратом как числа 2, так и числа -2. Аналогично и с единицей: 1=12=(-1)2.

Учёт знака числа, возможимого в квадрат, увеличит число способов для первого представления в 4 раза, а для второго - в 32 раза. Таким образом, итоговый результат равен:
56*4+56*32 = 56*36 = 2016 способов

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл палиндром уравнение видео комплексные магический квадрат правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр