пятница, 28 августа 2015 г.

Как тремя двойками выразить любое целое число

Среди математических развлечений особое место занимает поиск способа получить некоторое число из заданного набора цифр. Например, эта задача легла в основу нашей математической игры с числом пи.

Часто в таких задачах ставится ограничение на используемые функции и операции. Ведь всего тремя двойками можно записать любое целое число!

Делается это так. Выражение $\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}$, где квадратный корень вложен n раз, равно $2^\frac{1}{2^n}$.

Если взять от него логарифм по основанию 2, получим:

$\log_2\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}=\log_2\left(2^\frac{1}{2^n}\right)=\frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n=2^{-n}$

Возьмём двоичный логарифм ещё раз:
$\log_2 2^{-n}=-n$

Так мы получим любое целое отрицательное число. А обратив знак - любое натуральное.

$n=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}$, где корень берётся n раз.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр