Почему умножение делается первым?

Многих школьников, и не только, занимает вопрос: почему умножение и деление выполняются до сложения и вычитания?

В рунете на этот вопрос не найти чего-то более вразумительного, чем "так принято" (как в том анекдоте про эксперимент над обезьянами :) ). Но оказывается, на математическом форуме http://mathforum.org/ вопрос приоритета действий и их истории обсуждался ещё в 1998 году. Наиболее рациональное объяснение того, почему умножение выполняется до сложения, таково.

Существует распределительный закон умножения относительно сложения. Этот закон существует безотносительно порядка выполнения действий и гласит, что если сумму двух чисел умножить на третье число, то результат будет таким же, как если бы сначала первое число умножить на третье, затем второе умножить на третье, и результаты сложить.

При используемом нами порядке действий распределительный закон выглядит так:
(a+b)*c = a*c+b*c


Как бы он выглядел, если бы при сложение выполнялось раньше умножения? Вот так:
a+b*c = (a*c)+(b*c)

Во втором равенстве скобок больше, чем в первом. А ещё если учесть человеческую лень (которой своим рождением обязан, кстати, знак плюс), и то, умножение вообще в алгебраических преобразованиях используется чаще сложения (потому-то его знак часто вообще опускают), то становится понятным - выполняя умножение до сложения человечество за века сэкономило миллионы тонн чернил и неподдающееся учёту количество человеко-часов работы учёных, записывающих математические выражения.

Один араб в 1937 году

Эта заметка - результат странствий по Википедии. В декабре 2012 года я искал, в каких странах  в ближайшее время можно будет найти красивые последовательности, образованные цифрами на календаре. Очень удобными в этом смысле оказались Эфиопия, Иран и Северная Корея.

То, что клендарь, применяемый в Индии, отличается от используемого у нас примерно на 78 лет, я тогда заметил, но в пост не вынес. Выходит, текущий 2015-й год соответствует 1937-му году в Индии.

А сегодня, подготавливая пост о наименовании больших чисел, я обнаружил, что в Индии система формирования узловых десятичных единиц отличается от той, к которой мы привыкли. Разряды там группируются не по три, а по два, кроме самых правых трёх разрядов.

И один араб в Индии - это число 1,00,00,00,000, которое у нас называется миллиардом: 1 000 000 000.

Модуль синуса больше единицы

Есть много шуток на счёт решений задач, в ходе которых синус оказывается больше единицы (или меньше минус единицы).

Но оказывается, синус может всё-таки по модулю превосходить единицу! Если брать синус от комплексных переменных.

Расширить область определения синуса на множество компексных числе можно, использовав его разложение в ряд Тейлора:

$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\dots$

В эту формулу можно подставить $x = i = \sqrt{-1}$ и получить:

$\sin i = i-\frac{i^3}{3!}+\frac{i^5}{5!}-\frac{i^7}{7!}+\frac{i^9}{9!}-\dots=i+\frac{i}{3!}+\frac{i}{5!}+\frac{i}{7!}+\frac{i}{9!}+\dots= 1.175\dots \cdot i$

Выходит, по модулю синус числа i будет больше единицы:
$|\sin i | = 1.175\dots$

Простой признак делимости на 7

При изучении признаков делимости в 6 классе, признак делимости на 7 часто пропускают или объединяют вместе с признаками делимости на 11 и 13 в признак делимости на 1001.

В одной табличке признаков делимости мне даже попалась фраза: "простого признака делимости на 7 нет". А он есть! :)

Оказывается, чтобы проверить, делится ли число на 7, надо у него отбросить последнюю цифру и от оставшегося числа эту отброшенную цифру дважды вычесть. Если полученный результат делится на 7, то и число делится на 7.

Это действие можно проводить несколько раз, пока явно не увидим делимость или её отсутствие.

Возьмём число 39312
Отбрасываем последнюю двойку и дважды её отнимаем:
3931-2-2 = 3927
Отбрасываем последнюю семёрку и дважды её отнимаем:
392-7-7 = 378
Отбрасываем последнюю восьмёрку и дважды её отнимаем:
37-8-8 = 21

21 делится на 7, значит и 39312 делится на 7.

Кстати, этот метод можно ещё чуть-чуть усовершенствовать. Подумайте, как.

Ещё больше признаков делимости в статье на Эвольвенте: "Интересные признаки делимости, о которых обычно не рассказывают в 6 классе"

Приближение числа пи из его собственных цифр

Вчерашнее математическое развлечение в честь дня числа пи принесло много интересных приближений этого числа. А вот одно из них, использующее только 4 вида арифметических действий:

3+1/4+1/5/9*2-6/5/3/5/8-9/7/9 = 3.14158730...

Оно отличается от пи менее, чем на 0,0000054

Математическая игра в честь для числа пи

Сегодня день числа пи и нашему проекту "Приглашение в мир математики" исполняется 7 лет. По такому случаю приглашаю вас поучаствовать в математической игре.

Суть такова :)

Берём несколько первых цифр числа пи, расставляем между ними только знаки сложения, вычитания, умножения, деления и возвеления в степень, чтобы получить результат, как можно более приближённый к пи = 3,1415926535...

Вот примеры первых нескольких выражений:
3 (погрешность 0,14159...)
3х1 (погрешность 0,14159...)
3+1/4 (погрешность 0,10840...)
3+1/4х1 (погрешность 0,10840...)
3+1/4-1/5 (погрешность 0,09159...)

Лучше всего поучаствовать в математической игре в блоге "Эвольвента", чтобы сравнить свои результаты с результатами участников разных математических форумов.

242

Число 242 начинает первую серию из четырёх последовательных чисел, у которых поровну (по 6) делителей.

Шесть делителей может быть или у пятой степени простого числа или у произведения квадрата простого числа на другое простое число. Числа 242, 243, 244, 245 имеют вид:

242=2х11²
243 = 3⁵
244 = 2²x61
245 = 5х7²

Тридцать три

С числа 33 начинается первая тройка натуральных чисел, каждое из которых имеет ровно 4 делителя.

33 делится на 1, 3, 11 и 33
34 делится на 1, 2, 17 и 34
35 делится на 1, 5, 7 и 35

Унитарный делитель

В математической части англоязычная википедия намного полнее русскоязычной. Сегодня я в ней нашёл интересный термин - unitary divisor, унитарный делитель.

Унитарным делителем числа n называется такой делитель d, для которого парный ему делитель ($\frac{d}{n}$), не имеет с d общих делителей.

Например, для числа 24 = 24х1 = 12х2 = 8х3 = 6х4 унитарными являются делители 1, 3, 8 и 24.

Количество унитарных делителей числа n равно $2^k$, где k - количество различных простых делителей числа n.

Если число n - степень двойки, то сумма его унитарных делителей нечётна. Во всех других случаях она будет чётной.

Сумма всех натуральных чисел

Для числа 12 на математических часах я выбрал одну их наиболее парадоксальных формул, согласно которой сумма всего бесконечного множества натуральных чисел равна конкретному (!) дробному (!) отрицательному (!) числу.

А именно, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n = -\frac{1}{12}$

Чтобы разобраться, как такое может быть, начнём с ряда 1-1+1-1+1-1+1-1+......
Так как его сумма не стремится к какой-либо определённой величине, а принимает поочерёдно два различных значения: 1 или 0, он считается расходящимся.

Однако можно расширить понятие суммирования рядов и на расходящиеся, для начала приняв:
S = 1-1+1-1+1-1+1-1+...
Тогда этот же ряд можно записать как:
1-(1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1-S

Имеем уравнение:
S = 1-S
S = 0,5

Теперь возьмём этот ряд и возведём его в квадрат. При умножении рядов (a₁+a₂+a₃+a₄+...) на (b₁+b₂+b₃+b₄+...) получается ряд
(a₁b₁)+(a₁b₂+a₂b₁)+(a₁b₃+a₂b₂+a₃b₁)+(a₁b₄+a₂b₃+a₃b₂+a₄b₁), в котором в один член группируются произведения тех елементов рядов-множителей, для которых сумма индексов постоянна.

Получается, что (1-1+1-1+1-1+1-1+...)*(1-1+1-1+1-1+1-1+...) = 1+(1*(-1)+(-1)*1)+(1*1+(-1)*(-1)+1*1)+(1*(-1)+(-1)*1+1*(-1)+(-1)*1)+... = 1-2+3-4+5-6+7-...

Таки образом, сумма натурального знакопеременного ряда 1-2+3-4+5-6+7-... равна 0,5² = 0,25

Теперь сделаем ещё один шаг. Какой ряд надо прибавить к натуральному знакопеременному ряду, чтобы получить натуральный?

1-2+3-4+5-6+7-8+...
+
0+4+0+8+0+12+0+16+...
__________________
1+2+3+4+5+6+7+8+...

Но прибавляемый ряд равен учетверённому натуральному ряду:
0+4+0+8+0+12+0+16+... = 4(1+2+3+4+...)

Значит, 1-2+3-4+5-6+7-8+... = 1+2+3+4+... -4(1+2+3+4+...)= -3(1+2+3+4+...)
-3(1+2+3+4+...)=0,25
Откуда
$1+2+3+4+5+6+7+8+\dots=-\frac{1}{12}$

Впервые этот результат был получен Рамануджаном. И это не результат софизма и не пустое развлечение. Как оказалось, величина $-\frac{1}{12}$ для суммы всех натуральных чисел сейчас находит применение в квантовой механике.

Очевидно

Если в олимпиадной работе участник пишет "очевидно" - значит, он не знает доказательства. Если бы он знал доказательство, то расписал бы его на 2-3 страницы.

В.А. Ясинский,

48

На старте блога мы часто публиковали интересные свойства чисел.
Недавно я узнал, что куб можно разрезать на любое количество кубов, большее или равное 48-ми.

Задача о разрезании куба на меньшие называется задачей Хадвигера.