Модуль синуса больше единицы

Есть много шуток на счёт решений задач, в ходе которых синус оказывается больше единицы (или меньше минус единицы).

Но оказывается, синус может всё-таки по модулю превосходить единицу! Если брать синус от комплексных переменных.

Расширить область определения синуса на множество компексных числе можно, использовав его разложение в ряд Тейлора:

$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\dots$

В эту формулу можно подставить $x = i = \sqrt{-1}$ и получить:

$\sin i = i-\frac{i^3}{3!}+\frac{i^5}{5!}-\frac{i^7}{7!}+\frac{i^9}{9!}-\dots=i+\frac{i}{3!}+\frac{i}{5!}+\frac{i}{7!}+\frac{i}{9!}+\dots= 1.175\dots \cdot i$

Выходит, по модулю синус числа i будет больше единицы:
$|\sin i | = 1.175\dots$