Синус половинного угла

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса угла:
sin2a = 2 sina cosa

Попробуем теперь получить формулу синуса половинного угла. Для этого используем тригонометрическую единицу:
1 = sin²a + cos²a

И косинус двойного угла:
cos2a = cos²a - sin²a

Вычтем почленно эти выражения:
1 - cos2a = 2 sin²a

Отсюда:


Так как слева угол вдвое меньший, чем справа, то формулу можно переписать и как:


Аналогично косинус половинного угла выражается так:


А теперь начинается самое интересное. С помощью этих формул покажем, как из бесконечного корня из предыдущего поста вылезает пи.

Выразим синус альфа через угол вдвое больший, и затем будем выполнять эту операцию ещё и ещё:



А теперь возьмём угол альфа, равным
 

 Тогда его синус будет равен:

С ростом n этот угол будет стремиться к нулю. А, согласно первому замечательному пределу, синус малых углов равен самому углу в радианах, т.е. для стремящегося к бесконечности n, получим:



Отсюда и выходит предыдущий удивительный результат.