Комментируя пост о дискриминанте, наш читатель Денис Сепетов привёл пример ещё одной формулы-заклинания.
Объяснить, почему производная натурального логарифма равна именно единице на икс, студенты и старшеклассники часто не могут.
В тоже время, здесь тоже всё очень просто и логично. Для начала вспомним, что такое производная. Классическое определение гласит:
Если х приращивается на некоторую величину 
, то прирост зависимой можно вычислить по формуле:
Предел отношения этих приращений будет равен:
Теперь, чтобы объяснить большую магию, задействуем магию поменьше :) - второй замечательный предел.
По одному из следствий из него, бесконечно малые величины x и ln(1 + x) - эквивалентны. Так что далее предел преобразуется следующим образом:
Что и требовалось доказать.
Объяснить, почему производная натурального логарифма равна именно единице на икс, студенты и старшеклассники часто не могут.
В тоже время, здесь тоже всё очень просто и логично. Для начала вспомним, что такое производная. Классическое определение гласит:
Производная функции - это предел отношения приращения зависимой переменной к приращению независимой переменной, когда последнее стремится к нулю.То есть, у нас есть две переменные: независимая, х, которая может принимать любые значения, и зависимая - y, которая для каждого значения x определяется по формуле y = ln x.
, то прирост зависимой можно вычислить по формуле:
Предел отношения этих приращений будет равен:
Теперь, чтобы объяснить большую магию, задействуем магию поменьше :) - второй замечательный предел.
По одному из следствий из него, бесконечно малые величины x и ln(1 + x) - эквивалентны. Так что далее предел преобразуется следующим образом:
Что и требовалось доказать.
От себя могу добавить ещё один пример, как можно "вывести" эту формулу. Это даже короче, но требует интегрирования:
ОтветитьУдалить1) Попробуем взять интеграл от 1/x, при этом мы "не знаем", что это натуральный логарифм. Будем действовать иначе
2) Сделаем замену переменной: x = exp(t), dx = exp(t) dt
3) получится простой интеграл: ( (1/exp(t))*exp(t) dt ) = (1 dt) = t
4) Делаем обратную замену переменной и получаем: t = ln(x).
Думаю, даже студенты оценят.
А что такое exp?
Удалитьexp(x) - так в строчку записывают e в степени х
УдалитьКрасиво!
ОтветитьУдалить