Существует ровно 2016 способов представить число 5 в виде суммы восьми квадратов целых чисел. Почему так много? Давате подсчитаем.
Для начала, есть основных 2 способа представить число 5 в виде суммы восьми слагаемых, каждое из которых является квадратом (и мы не учитываем перестановку слагаемых).
Это:
5 = 4+1+0+0+0+0+0+0
5=1+1+1+1+1+0+0+0
Теперь учтём перестановку слагаемых. В первом способе место для четвёрки можно выбрать 8-ю способами, и место для единицы - 7-ю способами. Итогог он нам даёт 56 расстановок слагаемых.
Со втором способе места для единиц можно выбрать $C_8^5$ (или, что то же самое, места для нулей можно выбрать $C_8^3$) способами, что составит ещё 56 способов.
Теперь учтём, что 4 может быть квадратом как числа 2, так и числа -2. Аналогично и с единицей: 1=12=(-1)2.
Учёт знака числа, возможимого в квадрат, увеличит число способов для первого представления в 4 раза, а для второго - в 32 раза. Таким образом, итоговый результат равен:
56*4+56*32 = 56*36 = 2016 способов
четверг, 5 ноября 2015 г.
среда, 4 ноября 2015 г.
2016 - константа магического квадрата
Можно выбрать 64 последовательных простых числа так, чтобы из них можно было построить магический квадрат. Это можно сделать многими способами, а минимальная константа такого квадрата (т.е. сумма чисел в каждой вертикали, горизонтали и диагонали) будет равна 2016.
Этот результат получила Наталия Макарова.
103
|
113
|
131
|
409
|
349
|
421
|
197
|
293
|
389
|
331
|
397
|
97
|
193
|
263
|
179
|
167
|
109
|
433
|
439
|
199
|
127
|
101
|
241
|
367
|
137
|
373
|
353
|
163
|
359
|
211
|
229
|
191
|
311
|
181
|
149
|
419
|
79
|
271
|
223
|
383
|
157
|
269
|
151
|
277
|
401
|
337
|
317
|
107
|
379
|
83
|
307
|
313
|
251
|
173
|
283
|
227
|
431
|
233
|
89
|
139
|
257
|
239
|
347
|
281
|
Этот результат получила Наталия Макарова.
понедельник, 2 ноября 2015 г.
Треугольное и шестиугольное число 2016
Число 2016 вляется треугольным и шестиугольным.
2016 монет можно разложить в виде равностороннего треугольника со стороной 63 и в виде шестиугольника со стороной 32.
2016 является также 24-угольным числом, ему соответстсвует 24-угольник со стороной 14.
2016 монет можно разложить в виде равностороннего треугольника со стороной 63 и в виде шестиугольника со стороной 32.
2016 является также 24-угольным числом, ему соответстсвует 24-угольник со стороной 14.
воскресенье, 1 ноября 2015 г.
Практичное число 2016
За пару месяцев доНового Года начнём собирать интересные свойтсва числа 2016.
Вот все 36 делителей числа 2016:
2016 =
1 x 2016
2 x 1008
3 x 672
4 x 504
6 x 336
7 x 288
8 x 252
9 x 224
12 x 168
14 x 144
16 x 126
18 x 112
21 x 96
24 x 84
28 x 72
32 x 63
36 x 56
42 x 48
Оказывается, любое число, меньшее 2016, может быть представлено в виде суммы некоторых его делителей. Числа с таким свойством называются практичными. Предыдущим практичным номером года был 2010.
Немного подумав, приходим к выводу, что складывая делители практичного числа n можно получить любое число от 1 до 2n-1. А для числа 2016 можно пойти ещё дальше. К примеру:
4032 = 2016+1008+672+336
4033 = 2016+1008+672+336+1
4034 = 2016+1008+672+336+2
4035 = 2016+1008+672+336+3
....
Вопрос нашим читателям: как далеко мы сможем зайти?
Вот все 36 делителей числа 2016:
2016 =
1 x 2016
2 x 1008
3 x 672
4 x 504
6 x 336
7 x 288
8 x 252
9 x 224
12 x 168
14 x 144
16 x 126
18 x 112
21 x 96
24 x 84
28 x 72
32 x 63
36 x 56
42 x 48
Оказывается, любое число, меньшее 2016, может быть представлено в виде суммы некоторых его делителей. Числа с таким свойством называются практичными. Предыдущим практичным номером года был 2010.
Немного подумав, приходим к выводу, что складывая делители практичного числа n можно получить любое число от 1 до 2n-1. А для числа 2016 можно пойти ещё дальше. К примеру:
4032 = 2016+1008+672+336
4033 = 2016+1008+672+336+1
4034 = 2016+1008+672+336+2
4035 = 2016+1008+672+336+3
....
Вопрос нашим читателям: как далеко мы сможем зайти?