Сумма восьми квадратов

Существует ровно 2016 способов представить число 5 в виде суммы восьми квадратов целых чисел. Почему так много? Давате подсчитаем.

Для начала, есть основных 2 способа представить число 5 в виде суммы восьми слагаемых, каждое из которых является квадратом (и мы не учитываем перестановку слагаемых).
Это:

5 = 4+1+0+0+0+0+0+0
5=1+1+1+1+1+0+0+0

Теперь учтём перестановку слагаемых. В первом способе место для четвёрки можно выбрать 8-ю способами, и место для единицы - 7-ю способами. Итогог он нам даёт 56 расстановок слагаемых.

Со втором способе места для единиц можно выбрать $C_8^5$ (или, что то же самое, места для нулей можно выбрать $C_8^3$) способами, что составит ещё 56 способов.

Теперь учтём, что 4 может быть квадратом как числа 2, так и числа -2. Аналогично и с единицей: 1=1²=(-1)².

Учёт знака числа, возможимого в квадрат, увеличит число способов для первого представления в 4 раза, а для второго - в 32 раза. Таким образом, итоговый результат равен:
56*4+56*32 = 56*36 = 2016 способов