Сумма всех натуральных чисел

Для числа 12 на математических часах я выбрал одну их наиболее парадоксальных формул, согласно которой сумма всего бесконечного множества натуральных чисел равна конкретному (!) дробному (!) отрицательному (!) числу.

А именно, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n = -\frac{1}{12}$

Чтобы разобраться, как такое может быть, начнём с ряда 1-1+1-1+1-1+1-1+......
Так как его сумма не стремится к какой-либо определённой величине, а принимает поочерёдно два различных значения: 1 или 0, он считается расходящимся.

Однако можно расширить понятие суммирования рядов и на расходящиеся, для начала приняв:
S = 1-1+1-1+1-1+1-1+...
Тогда этот же ряд можно записать как:
1-(1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1-S

Имеем уравнение:
S = 1-S
S = 0,5

Теперь возьмём этот ряд и возведём его в квадрат. При умножении рядов (a₁+a₂+a₃+a₄+...) на (b₁+b₂+b₃+b₄+...) получается ряд
(a₁b₁)+(a₁b₂+a₂b₁)+(a₁b₃+a₂b₂+a₃b₁)+(a₁b₄+a₂b₃+a₃b₂+a₄b₁), в котором в один член группируются произведения тех елементов рядов-множителей, для которых сумма индексов постоянна.

Получается, что (1-1+1-1+1-1+1-1+...)*(1-1+1-1+1-1+1-1+...) = 1+(1*(-1)+(-1)*1)+(1*1+(-1)*(-1)+1*1)+(1*(-1)+(-1)*1+1*(-1)+(-1)*1)+... = 1-2+3-4+5-6+7-...

Таки образом, сумма натурального знакопеременного ряда 1-2+3-4+5-6+7-... равна 0,5² = 0,25

Теперь сделаем ещё один шаг. Какой ряд надо прибавить к натуральному знакопеременному ряду, чтобы получить натуральный?

1-2+3-4+5-6+7-8+...
+
0+4+0+8+0+12+0+16+...
__________________
1+2+3+4+5+6+7+8+...

Но прибавляемый ряд равен учетверённому натуральному ряду:
0+4+0+8+0+12+0+16+... = 4(1+2+3+4+...)

Значит, 1-2+3-4+5-6+7-8+... = 1+2+3+4+... -4(1+2+3+4+...)= -3(1+2+3+4+...)
-3(1+2+3+4+...)=0,25
Откуда
$1+2+3+4+5+6+7+8+\dots=-\frac{1}{12}$

Впервые этот результат был получен Рамануджаном. И это не результат софизма и не пустое развлечение. Как оказалось, величина $-\frac{1}{12}$ для суммы всех натуральных чисел сейчас находит применение в квантовой механике.