Матрицы с нулевым определителем

Ещё одна задачка про матрицы. Рассмотрим матрицы 3х3, элементами которых могут быть только нули, единицы и двойки. Всего таким матриц будет не особо много: $3^9 = 19 683$

Вопрос: у скольких из них определитель будет равен нулю?

Напомним: определитель матрицы

$\begin{pmatrix} a_{11} & a{12} & a{13} \\ a_{21} & a{22} & a{23} \\ a_{31} & a{32} & a{33} \end{pmatrix}$

равен разности двух сумм:

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}$ минус  $a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{23}a_{32}a_{11}$

Квадрат из натуральных чисел

Давайте начнём новый, 2022й год с интересной задачи.

Рассмотрим квадратную таблицу. Попробуем её заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел во всех строках и всех столбцах были одинаковыми.

Это немного напоминает магические квадраты, но с облегчёнными условиями: числа внутри могут повторяться, а равенство сумм требуется только по строкам и столбцам, не по диагоналям.

Разумеется, можно построить сколько угодно таких квадратных таблиц, проще всего взять и заполнить её одиними единицами.

Но давайте теперь подсчитаем, сколько существует квадратов, сумма всех элементов которых равна наперёд заданному числу N.

Например, для N = 12 таких квадратов тоже 12. Смотрите:

один квадрат из одной ячейки, в которой запишем число 12.

  [12]

пять квадратов из четырёх ячеек, вот такие:

  [1 5] [5 1] [2 4] [4 2] [3 3]

  [5 1] [1 5] [4 2] [2 4] [3 3]

и шесть квадратов из девяти ячеек:

  [1 1 2] [1 1 2] [1 2 1] [1 2 1] [2 1 1] [2 1 1]

  [1 2 1] [2 1 1] [1 1 2] [2 1 1] [1 1 2] [1 2 1]

  [2 1 1] [1 2 1] [2 1 1] [1 1 2] [1 2 1] [1 1 2]

Понятно, квадратов большего размера, заполненных натуральными числами, сумма которых равна 12, не существует. Таки образом, существует 12 квадратов, сумма элеметов которыхравна 12, и суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце равны.

А теперь предлагаем вам, уважаемые читатели, выяснить, сколько существует квадратов с указанным свойством, сумма всех чисел в ячейках которых равна 28? Вы, вероятно, догадываетесь, какой будет ответ ;) - тем интереснее будет перечислить их все.