Вычисление предела

Как-то резко я прекратил публиковать объяснение формул со своих математических часов. Продолжаем!

Число 9 выражается как предел $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(3x+1)(3x+2)}{(x+3)(x-2)}$

Предел этот представляет собой неопределённость вида бесконечность на бесконечность. При этом в числителе и знаменателе предела - многочлены.

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9x^2+9x+2}{x^2+x-6}$

Так как эти многочлены одинаковых степеней, предел будет равен отношению их старших коэффициентов. Для доказательства этого факта разделим числитель и знаменатель на $x^2$:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{9x^2+9x+2}{x^2}}{\frac{x^2+x-6}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{9x^2}{x^2}+\frac{9x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{6}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9+\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}$

Поскольку х стремится к бесконечности, то все слагаемые числителя и знаменателя, кроме первых, стремятся к нулю и можно вычислить предел.

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9+\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}} = \frac{9+0+0}{1+0+0}=9$

Вот, кстати, как выглядит график этой функции:

Прямая у=9 является егго горизонтальной асимптотой.