Обман зрения в геометрии

Часто при доказательстве теоремы Пифагора используется метод разрезания и перекладывания частей. Однако не следует забывать, что используя такой путь следует строго доказывать, что мы получили именно ту фигуру, которую хотели. Иначе могут возникать ситуации, подобные следующей:

Возьмём квадрат 8 на 8 и разрежем его на 4 части:

Теперь переложим части вот так:

Получается, что из одних и тех же частей состоят и квадрат площадью 64 и прямоугольник площадью 65.



Но это не всё - переложив части вот так:

Получаем фигуру площадью 63 (по 30 на каждый из боковых прямоугольников и 3 на "перешейке").

На самом же деле составные части второй и третьей фигур не равны тем частям, из которых состоит исходный квадрат. Для третьей фигуры чтобы убедиться в этом достаточно внимательно взглянуть на два угла по 270 градусов.

Ошибка же в первом построении, которое часто приводится на развлекательных сайтах как "опровержение" геометрии, находится исходя из подобия фигур.

Катеты жёлтого треугольника в исходном квадрате относятся как 3:5. Катеты треугольника, составленного из синей и жёлтой фигур на втором чертеже относятся как 5:13. Так как жёлтый треугольник на втором чертеже отрезан линией, параллельной стороне прямоугольника, то и его катеты должны относиться как 5:13. Но отношения 5:13 и 3:5 не равны между собой, так что на двух чертежах желтым цветом обозначены разные фигуры.

Если попробовать аккуратно вырезать все части квадрата из бумаги и переложить, окажется, что "дополнительная" клетка будет длинным отверстием, идущим вдоль диагонали прямоугольника.

Вот как это будет выглядеть на самом деле:

Кстати, такой обманный чертёж можно сделать, взяв любые 3 последовательные числа ряда Фибоначчи. Здесь мы квадрат 8 на 8 показывали равным прямоугольнику 5 на 13, а можно покзаать, что квадрат 13 на 13 "равен" прямоугольнику 8 на 21.