Уравнение Пелля

Рассмотрим задачу:
Найти натуральные x и y, для которых
 x² - 2012y² = 1

Поскольку 2012 кратно четырём, то данное уравнение равносильно:
 x² - 503z² = 1,
где z = 2y.

Вот, что с ним можно сделать теперь . Разделим обе части на z² и выполним перенос вычитаемого вправо:


И извлечём корень:


Таким образом, корни этого диофантова уравнения можно искать среди рациональных приближений корня из 503.

Этот корень раскладывается в бесконечную цепную дробь:


Дальше числа в знаменателях будут периодично повторяться. Более коротко такая цепная дробь записывается как:
[22, (2, 2, 1, 21, 1, 2, 2, 44)].

Если обрывать цепную дробь на каком-нибудь слагаемом и сворачивать её обратно, будем получать подходящие дроби. Если для приближения взять дробь



То получим первую пару натуральных чисел, удовлетворяющую условию:
24648² - 503*1099² = 1

Таким образом, x = 24648, y = 2198

Вот так решаются уравнения Пелля. Заметим. что в таких уравнениях коэффициент при y² не является полным квадратом.