Постоянная Хинчина

Если вы пробовали раскладывать наугад взятое число в цепную дробь, то, наверняка, обращали внимание, что единицы и двойки встречаются в разложении чаще всего, а большие числа - редко.

Этот факт в 1935 году заметил и советский математик Александр Яковлевич Хинчин. Он доказал, что почти для всех иррациональных чисел, предел среднего геометрического членов разложения их дробной части в цепную дробь будет величиной постоянной, и равной 2,685452...

Для иллюстрации этого процесса проведём его для дробной части числа пи:

Звено	Среднее геометрическое всех звеньев по данное
7	7
15	10,246951
1	4,717694
292	13,232535
1	7,894315
1	5,594510
1	4,374605
2	3,966891
1	3,403735
3	3,361030
1	3,010310
14	3,421666
2	3,283209
1	3,015922
1	2,801940
2	2,743513
2	2,692972
2	2,648829
2	2,609947
1	2,487712
84	2,941608
2	2,890471
1	2,760111

Однако, обратите внимание, что для пи ещё не доказано, будет ли в пределе именно постоянная Хинчина, 2,685452...

Известные исключения (для которых данный предел средних геометрических не получается) - это квадратичные иррациональности (с периодическими цепными дробями) и число е.