Почему же гиперболические?

Почему же функции sh, ch, th называются гиперболическими синусом, косинусом и тангенсом?
Вспомним, как определяются значения тригонометрических функций для произвольного t.

Если на единичной окружности, задаваемой уравнением x²+y²=1, отложить от оси ОХ против часовой стрелки угол t, то синусом его будет проекция соответствующей точки окружности на ось у, а косинусом - на ось х.

Заметим также, что угол t численно равен площади S вырезаемого им сектора окружности (примем, что при каждом переходе через полный круг, площадь всё увеличивается).

Гиперболические функции определяются аналогичным образом через гиперболу x²-y²=1 (как я рассказывал, гипербола - это не только график обратной пропорциональности)

Гиперболические синус и косинус будут проекциями точки пересечения луча, пущенного из начала координат с этой гиперболой на оси у и х, соответственно. Параметром t  соответствующих функций берётся удвоенная площады S, заключённая между лучом, гиперболой и осью ОХ (если луч откладывается в нижнюю полуплоскость, берётся знак минус).