четверг, 27 ноября 2014 г.

Куб на математических часах

На моих математических часах восьмёрка задаётся проще всего - как куб двойки. Поэтому в этом посте будет кое-что интересное о кубах.

8 - куб

Таблицы кубов чисел на глиняных табличках составляли ещё в Вавилоне за 2000 лет до нашей эры.

Греки знали о кубических уравнениях, а Герон Александрийский (тот самый, который вывел формулу площади треугольника и вычислил радиус Земли) умел извлекать кубические корни.

Диофант обозначал куб числа как $K^y$. Современное обозначение степени числа, $2^3$, ввёл Декарт.

Любое натуральное число можно представить в виде суммы не более девяти кубов натуральных чисел. Ровно девять кубов понадобится для числа 23: $23 = 2^3+2^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3$.

Хотя есть бесконечно много троек натуральных чисел таких, что квадрат одного из них равен сумме квадратов двух других (например, $5^2 = 3^2+4^2, 17^2=8^2+15^2,\dots$), для кубов таких троек не существует.

Однако существует бесконечное множество подобных четвёрок! Например:
$6^3 = 3^3+4^3+5^3$
$9^3=1^3+8^3+9^3$
$19^3=3^3+9^3+18^3$
и т.д.

Фраза "два в кубе" является самоописывающей, поскольку содержит ровно два в кубе букв.

А ещё одно интересное свойство кубов заслуживает отдельного поста, который последует вскоре за текущей серией публикаций.

среда, 26 ноября 2014 г.

Семёрка на математических часах - определитель матрицы

На математических часах вместо семёрки находится формула $\begin{vmatrix}i \lg 10&-2\\ \sqrt{16}&i\end{vmatrix}$.

Это определитель матрицы, элементы которой, в свою очередь задаются через логарифмы, корни и мнимую единицу. Посмотрим, как он вычисляется.

7 - Определитель

Матрица - это особый математический объект, Нео :) Она представляет собой прямоугольную таблицу с числами. Кстати, n-мерный ветор тоже можно рассматривать как матрицу размером 1 x n.

Матрицы можно умножать на число, складывать между собой (если они одинакового размера) или перемножать (если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй).

Особый интерес представляют квадратные матрицы, так как через них можно достаточно просто выразить, например, решение систем линейных уравнений или расчёт параметров отрисовки объектов в 3D-играх. Для квадратных матриц можно вычислить определитель.

Определитель матрицы 2х2 вычисляется по формуле:
$\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix} = ad-bc$

А для матрицы 3х3 формула будет такой:
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\\-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{22}a_{32}$

В нашем случае, получаем:
$\begin{vmatrix}i \lg 10&-2\\ \sqrt{16}&i\end{vmatrix} = i \lg 10 \cdot i - (-2)\cdot \sqrt{16} =  i \cdot i+2\cdot 4 = -1+8 = 7$

четверг, 13 ноября 2014 г.

Число 6 на математических часах: снова Эйлер!

Поскольку число 6 находится внизу циферблата, для него можно придумать формулу повесомее.
$6 = \frac{\pi^2}{\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}}$

6 - ряд Эйлера
Оказывается, если складывать обратные квадраты натурального ряда $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots$, то получится:величина $\frac{\pi^2}{6}$. Значит, если пи квадрат разделить на эту бесконечную сумму, получится шестёрка.

Как Эйлер нашёл сумму этого ряда я писал на Эвольвенте - основном блоге, объединяющем олимпиадную, популярную и школную математику.

среда, 12 ноября 2014 г.

Объяснение математических часов: 5 - золотое сечение

На математических часах в двух формулах встречается буква фи ($\phi$) однако, она имеет разный смысл. Чётвёрка на часах задаётся через функцию Эйлера, а пятёрка - через константу Золотого сечения:

$5=(2\phi-1)^2$

5 - Золотое сечение
Золотое сечение возникает из следующей задачи. Единичный отрезок нужно разделить на 2 части так, чтобы большая часть относилась к меньшей как весь отрезок относится к его большей части.
Золотое сечение
Составим пропорцию:
$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$

Откуда получаем квадратное уравнение:
$x^2-x-1 = 0$

Его положительным корнем будет:
$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Это число обозначается как $\phi\approx 1,618$

У него много интересных свойств. Например, если число фи увеличить на единицу, получим его квадрат. А если уменьшим на единицу - получим обратную величину, $\frac{1}{\phi}$

Число фи всплывает и при вычислении бесконечных цепных дробей или вложенных корней. Забавно, что собственно о числах Фибоначчи и порождающей их формуле я в блоге до сих пор не писал - постараюсь это исправить :)



понедельник, 10 ноября 2014 г.

Математические часы: 4 - функция Эйлера

Для числа 4, как и для числа 2 на математических часах также используется формула, связанная с Эйлером.

$4 = \phi(10)$

4 - Функция Эйлера
Фунция Эйлера, обозначающаяся греческой буквой фи, для некоторого натурального числа n равна количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n (т.е. не имеющих с n других общих делителей, кроме единицы). При этом принимается, что $\phi(1) = 1$.

Для числа 10 есть 4 числа, меньших его, которые не имеют с числом 10 других общих делителей, кроме единицы. Это 1, 3, 7 и 9. Поэтому $\phi(10) = 4$

Интересным свойством функции $\phi(n)$ является её мультипликативность. $\phi(mn) = \phi(m)\phi(n)$

Для простых чисел $\phi(p) = p-1$, для составных $\phi(n) < n-1$. Оказывается, для любого числа r в интервале [0;1] можно подобрать такое n, чтобы приблизить это r с любо точностью дробью $\frac{\phi(n)}{n}$

воскресенье, 9 ноября 2014 г.

Математические часы: 3 - целая часть интеграла.

На математических часах я сначала тройку хотел обозначить как целую часть от пи. $3=[\pi]$. Но всё-таки для чисел 3, 6, 9 и 12 лучше использовать формулы побольше (как в посте о том, как опубликовать математическую статью).

$3=\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\right]$

3. Несобственный интеграл
Из "больших" формул на ум приходят лимиты, суммы и интегралы. Но брать обычный определённый интеграл - это слишком мейстримно. Гораздо интереснее рассмотреть интегралы, у которых пределы - в бесконечности. Берутся они аналогично, просто при вычислении нужно использовать предельный переход.

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2} = arctg~x |_{-\infty}^{\infty}=$
$= \lim_{x \rightarrow \infty} arctg~x-\lim_{x \rightarrow -\infty} arctg~x = \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi$

Таким образом, $3=\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\right]$

суббота, 8 ноября 2014 г.

Объяснение математических часов: 2 - формула Эйлера

Вместо числа 2 на моих математических часах формула:
$2 = 1-e^{\pi i}$

2. Формула Эйлера
Считающаяся одной из самых красивых формул в математике, формула Эйлера объединяет числа пи, е, единицу, мнимую единицу и ноль и имеет вид:
$e^{\pi i}+1 = 0$

Почему число е, возведённое в мнимую степень, даёт действительное число?

Для начала уточним, что выражение $e^{\pi i}+1 = 0$ на самом деле называется тождеством Эйлера и является частным случаем более общей формулы Эйлера, которая выглядит так:
$e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Доказывается она через разложение показательных и тригонометрических функций в ряды. Тема степенных рядов заслуживает отдельного поста здесь или даже на Эвольвенте, но пока можно просто сказать, что верны равенства:
$e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$,
$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$,
$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$,
где справа - бесконечные суммы.

Разложив $e^{i x}$ в ряд и использовав свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$), мы и получим искомое выражение: $e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Подставив $x = \pi$, имеем: $e^{\pi i} = -1$




пятница, 7 ноября 2014 г.

Объяснение математических часов: 1 - факториал нуля

На своих математическия часах для обозначения числа 1 я использовал формулу:

$1 = 0!$

1. Факториал нуля.
Символ факториала (n!) обозначает произведение числе от 1 до n. Поэтому часто на математических часах через факториал тройки обозначают шестёрку: $3!=1\cdot 2\cdot 3 = 6$.

Но обозначение факториала можно расширить и на 0, если учесть, что $n!=1\cdot 2\cdot 3 \dots (n-1)\cdot n$ - это количество способов разместить в ряд n разных предметов. Так как 0 предметов можно разместить ровно один способом, то $0! = 1$

В блоге я как-то писал и о том, как можно определить факториал дробного числа.

С факторалом также связаны такие понятия, как факторион, субфакториал и праймориал.

четверг, 6 ноября 2014 г.

Математические часы

В интернете часто попадаются часы с циферблатом, на котором вместо чисел от 1 до 12 написаны формулы. Я решил себе сделать что-то подобное, но чуть более оригинальное. К примеру, на каждом втором образце в сети шестёрка обозначается как 3!, хотя факториалу, как увидите у меня, можно найти более интересное применение.

Вот, что получилось:
Математические часы

Обратите внимание на число 12 :)

В нескольких последующих публикациях в блоге разберём содержимое этого циферблата.

Кубы-матрёшки

Наталии Макаровой удалось получить магический куб порядка 7, "сердцевина" которого, в свою очередь, является магическим кубом порядка 5 и содержит в своём "ядре" магический куб порядка 3. Сразу возникает мысль о матрёшках, не правда ли?

И вот какой картинкой Наталия со мной поделилась:
магические кубы - матрёшки

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор задача корень структура тригонометрия е конструкция сайты формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр