воскресенье, 30 декабря 2012 г.

3, 11, 61

Начнём последовательность с 1, 2, 3, а затем будем приписывать суммы попарных произведений последних трёх чисел в ней.

Сначала добавится число 11 = 1х2 + 2х3 + 1х3

Затем к последовательности 1, 2, 3, 11, добавится число 61 = 2х3 + 3х11 + 2х11

Получим: 1, 2, 3, 11, 61,...

Забавно, что числа 3, 11, 61 - являются простыми множителями числа 2013.

Далее она будет продолжаться как:
1, 2, 3, 11, 61, 887, 64535, ...

P.S. Надо же, я дватрижды без опечаток с первого раза написал слово последовательность :)


 

суббота, 29 декабря 2012 г.

General-2013

На нескольких математических форумах я загистрирован как General. И Семёныч с Назвы сделал мне к Новому году чудесный подарок.

Он обнаружил, что если в выражении Я * (Г + Е + Н + Е + Р - А + Л) заменить каждую букву её номером в алфавите, получится 2013.

четверг, 20 декабря 2012 г.

Долго ли ждать подобного момента?

Сейчас 20:12 20.12 2012: 20 часов 12 минут 20-е число 12-го месяца 2012 года. Как и в посте про момент из одних двенадцаток, сначала я хотел написать, что ждать следующую аналогичную минуту почти 90 лет, но затем задумался.

Ведь на Земле используются разные календари. И если вы пропустили занимательное нумерологическое мгновение у нас, возможно, просто стоит отправиться в путешествие?

Мои соображения полностью оправдались. Оказывается, в Иране сейчас идёт 1391 год, а конретно 30-е число 9-го месяца. И меньше, чем через 10 лет там наступит 14:01 14.01 1401г. У нас это будет 3 апреля 2022 года.

А можно ждать меньше года, если поехать в Эфиопию. Там сейчас 2005-й год, так что ещё целых 7 лет можно наблюдать мгновения из повторяющихся групп цифр.

В Северной Корее сейчас 101-й год Чучхе, что также открывает целую серию занимательных календарных числовых конфигураций.

вторник, 18 декабря 2012 г.

Формулы понижения степени

Хотя в блоге можно найти и удивительные свойста числа 2013, и математические фокусы, и магические квадраты, больше всего посетителей привлекает сюда статья о правиле выноса из-под корня.

В комментариях к ней читатели задают вопросы и по другим разделам математики. Вот, например, обсуждение формулы понижения степени достойно отдельного поста.

Итак, имеем форулу косинуса двойного угла,
cos2a = cos2a - sin2a

Прибавим к обеим частям единицу
cos2a +1 = cos2a - sin2a + cos2a + sin2a
cos2a +1 = 2cos2a

Поэтому:
формула понижения степени

Так что вместо второй степени косинуса можно использовать косинус первой степени, но удвоенного угла. Аналогично квадрат синуса можно также заменять первой степенью косинуса (просто вместо прибавления единицы на первом шаге преобразования, её надо отнять):
формула понижения степени

Возникает справедливый вопрос: а можно ли понизить третью степень косинуса или синуса? Рассуждая по аналогии, попробуем вывести нужную формулу из формул тройного угла.

cos3a = cos(2a + a) = cos2a cosa - sin2a sina = (cos2a - sin2a) cosa - 2sina cosa sina = cos3a - 3sin2a cosa = cos3a - 3(1- cos2a) cosa = 4cos3a - 3cosa

Значит, куб косинуса можно представить как:
формула понижения степени косинуса в кубе

Аналогично для куба синуса:

формула понижения степени синуса в кубе

Для решения тригонометрических уравнений то, что после понижения степени мы получили функции от разных переменных, несколько неудобно. Но вот при интегрировании тригонометрических функций этот факт нискольrо не мешает.

Например:
формула понижения степени синуса в кубе

Кстати, при взятиях интегралов и не только возникает нужда преобразовывать произведение тригонометрических функций в сумму. Об этом и других тригонометрических формулах есть статья-справочник в разделе "Математика в школе" блога "Эвольвента"

среда, 12 декабря 2012 г.

12:12:12 12/12/12

Сейчас удивительное мгновение: 12 часов 12 минут 12 секунд 12-го числа 12-го месяца 12-го года. Следующий такой момент, записываемый шестью одинаковыми числами, будет уже только в следующем веке.

Популярные сообщения